43. Лнду второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

Способ интегрирования линейных дифференциальных уравнений со свободным членом, рассмотренный выше, замечателен тем, что, пользуясь им, мы находим общий интеграл без помощи квадратур. Но круг применения этого способа весьма ограничен. Если свободный член f (x) имеет вид, отличный от тех, которые нами были рассмотрены, то в большинстве случаев подобрать подходящую форму для частного решения у^* весьма трудно и от отыскания его по способу неопределенных коэффициентов приходится отказаться.    Укажем здесь другой способ интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений, данный Лагранжем и известный под названием способа вариации произвольных постоянных. Практически он более утомителен, но зато, пользуясь им, мы всегда решаем вопрос об интегрировании уравнения, сводя его к квадратурам. Полученные интегралы могут выражаться в конечном виде или нет, но во всяком случае, с точки зрения задачи интегрирования дифференциального уравнения, мы, пользуясь методом Лагранжа, решение вопроса доводим до конца.    Переходим к изложению способа вариации произвольных постоянных, ограничиваясь линейными неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка.    Заметим, что если предложено интегрировать уравнение

y '' + a₁ y ' + a₂ y = f (x), (7)

коэффициенты a₁, a₂ которого суть функции от аргумента х или постоянные числа, то, откидывая свободный член f (x) и меняя обозначение у на z, получим уравнение

z '' + a₁ z ' + a₂ z = 0 (8)

без свободного члена, соответствующее уравнению (7). Его общее решение имеет вид

z = C₁·z₁ + C₂·z₂. (9)

Здесь z_l, z₂ - частные решения (8), а С₁, С₂ -произвольные постоянные. Идея способа вариации постоянных заключается в том, что общий интеграл уравнения (7) ищут в той же форме, которую имеет общий интеграл уравнения (8), т. е. полагают, что будем искать решение неоднородного уравнения (7) в форме (9), рассматривая C₁ и C₂ как некоторые пока неизвестные функции от х, т.е.

y = C₁(x)·z₁ + C₂(x)·z₂ (10)

   Продифференцируем равенство (10)

y ' = C₁'(x)·z₁ + C₁(x)·z'₁ + C₂'(x)·z₂ + C₂(x)·z'₂ (11)

Выберем функции C₁ и C₂ так, чтобы

C₁'·z₁ + C₂'·z₂ = 0 (12)

Если это учесть, то выражение (11) для первой производной примет вид

y ' = C₁(x)·z₁' + C₂(x)·z₂' (13)

Дифференцируя соотношение (13) ещё раз, получим

y '' = C₁·z₁'' + C₁'·z₁' + C₂·z₂'' + C'₂·z₂' (14)

Подставляя полученные выражения для производных в уравнение (7), получим

C₁·z₁ '' + C₁ '·z₁ ' + C₂·z₂ '' + C'₂·z₂ ' + a₁ (C₁·z₁ ' + C₂·z₂ ') + a₂ (C₁·z₁ + C₂·z₂) = f (x),

или

C₁·(z₁ '' + a₁·z₁ '+ a₂ ·z₁) + C₂·(z₂ '' + a₁·z₂ ' + a₂ ·z₂) + C₁ '·z₁ ' + C'₂·z₂ ' = f (x), (15)

   Выражения в двух скобках обращаются в нуль, так как z₁ и z₂ являются решениями однородного уравнения (8). Следовательно, равенство (15) примет вид

C₁ '·z₁ ' + C'₂·z₂ ' = f (x). (16)

   Таким образом, чтобы (10) было решением уравнения (7) в предположении зависимости C₁ и C₂ от х, необходимо чтобы C₁ и C₂ удовлетворяли системе уравнений вида

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского W ≠ 0, то эта система имеет единственное решение

Интегрируя последние равенства, получим

Подставляя последние равенства в (10), получим общее решение линейного дифференциального уравнения.