- •Понятие функции двух переменных, частные призводные, их геометрический смысл.
- •Частные производные высших порядков функции двух переменных.
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
- •Градиент функции двух переменных, производная в данном направлении.
- •Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа, геометрическое изображение.
- •Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.
- •Сложение и вычитание комплексных чисел.
- •Умножение и деление комплексных чисел.
- •Непосредственное интегрирование
- •Уравнение первого порядка
- •34. Решение ду первого порядка с разделяющимися переменными.
- •35. Однородные ду первого порядка, нулевая функция однородности.
- •36. Решение линейных ду первого порядка. Метод Бернулли.
- •37. Решение линейных ду первого порядка. Метод Лагранжа.
- •Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения
- •Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме
- •38. Уравнение «в полных дифференциалах» и его решение.
- •39. Уравнение Бернулли и метод его решения.
- •40. Линейные однородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения.
- •41. Линейные однородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод характеристического уравнения.
- •42. Лнду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.
- •43. Лнду второго порядка. Метод вариации произвольных постоянных.
- •44. Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •45. Системы ду. Метод подстановки(сведение к одному ду высшего порядка).
Понятие функции двух переменных, частные призводные, их геометрический смысл.
Определение функции двух переменных:. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторого множества D соответствует единственное значение величины z, а каждому z соответствует хотя бы одна пара (x,y), то мы говорим, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определенная в D.
Геометрический смысл:
Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
где - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)).
Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.
Частные производные высших порядков функции двух переменных.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции двух переменных.
Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:
Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде
где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.
Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:
dz=A*Δx+B*Δy. (44.2)
Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде
dz=Adx+Bdy. (44.3)
Градиент функции двух переменных, производная в данном направлении.
Производная функции в точке в направлении вектора называется
Если функция дифференцируема, то производная в данном направлении вычисляется по формуле - углы, образованные вектором
Производная по направлению дает скорость изменения функции z в направлении вектора
Градиентом функции называется вектор, выходящий из точки M и имеющий своими координатами частные производные функции z:
Градиент функции и производная в направлении вектора связаны формулой . Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.
Необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.
Необходимое условие дифференцируемости функции:
Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.
Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находим
Переходя к пределу при Δх → 0, получим
Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная
Равенство (44.1) можно записать в виде
где =аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.
Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0;0).
Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:
или
где — частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).
Достаточное условие дифференцируемости функции:
Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'x и z'y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).
Примем теорему без доказательства.
Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.
Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.
44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Из определения дифференциала функции z=ƒ (х; у) следует, что при достаточно малых |Δх| и |Δу| имеет место приближенное равенство
Так как полное приращение Δz=ƒ(х+Δх;у+Δу)-ƒ(х;у), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:
Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.