Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

15. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

И

16. Интегрирование «по частям» (с выводами), основные интегралы, берущиеся «по частям».

17. Интегрирование простейших рациональных дробей 1, 2, 3 типов.

18. Интегрирование дробно-рациональных выражений.

19. Интегрирование тригонометрических функций.

20. Применение универсальной тригонометрической подстановки при интегрировании тригонометрических выражений.

Универсальная тригонометрическая подстановка Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например, , , . В то же время функция  рациональной не является. Теорема. Интеграл вида  с помощью подстановки  преобразуется в интеграл от рациональной дроби. Для доказательства выразим ,  и  через : ; ; . В результате проведенных преобразований ,  и  превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем: . В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь. Подстановка , , , называется универсальной тригонометрической подстановкой.

21. Понятие определенного интеграла, как предела интегральной суммы.

22. Свойства определенного интеграла.

23. Формула Ньютона-Лейбница (с доказательством).

24. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.

25. Вычисление площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

26. Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных относительно нуля пределах.

27. Несобственный интеграл первого рода, свойства.

28. Несобственный интеграл второго рода, свойства.

29. Вычисление длины дуги плоской кривой (с выводом).

30. Вычисление площади поверхности вращения.

31. Вычисление объёма тела по площади параллельных сечений.

32. Вычисление объёма тела вращения.

33. Понятие обыкновенных дифференциальных уравнений. ДУ первого порядка. Задача Коши.

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида

где  — неизвестная функция (возможно, вектор-функция, тогда , как правило, тоже вектор-функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом случае говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от независимой переменной , штрих означает дифференцирование по . Число (порядок старшей производной, входящей в данное уравнение) называется порядком дифференциального уравнения (1).

Независимая переменная часто интерпретируется (особенно в дифференциальных уравнениях, возникающих в физических и других естественно-научных задачах) как время, поэтому её часто обозначают буквой . Переменная  — некоторая величина (или совокупность величин, если является вектор-функцией), изменяющихся со временем. Например, может означать набор координат точки в пространстве; в этом случае уравнение (1) описывает движение точки в пространстве, то есть изменение её координат с течением времени. Независимая переменная обычно принимает вещественные значения, однако рассматриваются и дифференциальные уравнения, в которых переменная комплексная (так называемые уравнения с комплексным временем).

Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения вида

в которых старшая производная выражается в виде функции от переменных и производных порядков меньше Такие дифференциальные уравнения называются нормальными или разрешёнными относительно производной.

В противоположность уравнениям вида (2), дифференциальные уравнения вида (1) называются уравнениями, не разрешёнными относительно производной или неявными дифференциальными уравнениями.

Классическим решением дифференциального уравнения (2) называется раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительное условие. Начальным условием для уравнения (2) называется условие

где  — некоторое фиксированное значение независимой переменной (фиксированный момент времени), а и  — соответственно, фиксированные значения функции и всех её производных до порядка включительно. Дифференциальное уравнение (2) вместе с начальным условием (3) называется начальной задачей или задачей Коши:

При достаточно общих ограничениях на функцию , стоящую в правой части уравнения (2), задача Коши для этого уравнение имеет единственное решение, определенное на некотором интервале оси времени , содержащем начальное значение (этот интервал, вообще говоря, может не совпадать со всей осью).

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.