45. Системы ду. Метод подстановки(сведение к одному ду высшего порядка).

одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача - переход от ДУ к системе - рассмотрена выше на примере.) Техника этого метода основана на следующих соображениях.

Пусть задана нормальная система (6.1). Продифференцируем по х любое, например первое, уравнение:

Подставив в это равенство значения производных из системы (6.1), получим

или, коротко,

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения производных из системы (6.1), получим

Продолжая этот процесс (дифференцируем - подставляем - получаем), находим:

Соберем полученные уравнения в систему:

Из первых (n-1) уравнений системы (6.3) выразим функции у₂, у₃, ..., y_n через х, функцию y₁ и ее производные у'₁,у"₁,...,у₁^(n-1). Получим:

Найденные значения у₂, у₃,..., у_n подставим в последнее уравнение системы (6.3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции   Пусть его общее решение есть

Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных в уравнения системы (6.4), найдем функции у₂, у₃,..., у_n.