37. Решение линейных ду первого порядка. Метод Лагранжа.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

Метод состоит в замене произвольных постоянных в общем решении

соответствующего однородного уравнения

на вспомогательные функции , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если  — первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где  — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица называется матрицей Коши оператора .

38. Уравнение «в полных дифференциалах» и его решение.

Определение уравнения в полных дифференциалах

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция двух переменных u(x,y) с непрерывными частными производными, что справедливо выражение

Общее решение уравнения в полных дифференциалах определяется формулой

где C − произвольная постоянная.

Необходимое и достаточное условие

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D. Дифференциальное уравнение P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 будет являться уравнением в полных дифференциалах тогда и только тогда, если справедливо равенство:

Алгоритм решения уравнения в полных дифференциалах

1. Сначала убедимся, что дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, используя необходимое и достаточное условие:

          

2. Затем запишем систему двух дифференциальных уравнений, которые определяют функцию u(x,y):

          

3. Интегрируем первое уравнение по переменной x. Вместо постоянной C запишем неизвестную функцию, зависящую от y:

          

4. Дифференцируя по переменной y, подставим функцию u(x,y) во второе уравнение:

          

Отсюда получаем выражение для производной неизвестной функции φ(y):

          

5. Интегрируя последнее выражение, находим функцию φ(y) и, следовательно, функцию u(x,y):

          

6. Общее решение уравнения в полных дифференциалах записывается в виде:

          

Примечание: На шаге 3, вместо интегрирования первого уравнения по переменной x, мы можем проинтегрировать второе уравнение по переменной y. После интегрирования нужно определить неизвестную функцию ψ(x).

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  2xydx + (x² + 3y²)dy = 0.

Решение.

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поскольку соответствующие частные производные равны:

     

Запишем следующую систему дифференциальных уравнений для определения функции u(x,y):

     

Интегрируя первое уравнение по x, получаем:

     

Подставляем выражение для u(x,y) во второе уравнение:

     

Интегрируя последнее уравнение, находим неизвестную функцию φ(y):

     

так что общее решение данного уравнения в полных дифференциалах имеет вид:

     

где C − произвольная постоянная.