41. Линейные однородные ду второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод характеристического уравнения.

Эйлер предложил искать частные решения в виде . Если принять частным решением уравнения , то при подстановке этого решения в уравнение мы должны получить тождество. Так мы получили характеристическое уравнение. Решения k₁ и k₂ этого квадратного уравнения определяют частные решения и нашего ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. В зависимости от коэффициентов p и q корни характеристического уравнения могут быть:

1. действительными и различными ,

2. действительными и совпадающими ,

3. комплексно сопряженной парой .

В первом случае линейно независимыми частными решениями исходного дифференциального уравнения являются и , общее решение ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами есть . Функции и действительно линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля для любых действительных x при . Во втором случае одним частным решением является функция . В качестве второго частного решения берется . Покажем, что действительно является частным решением ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и докажем линейную независимость y₁ и y₂. Так как k₁ = k₀ и k₂ = k₀ совпадающие корни характеристического уравнения, то оно имеет вид . Следовательно, - исходное линейное однородное дифференциальное уравнение. Подставим в него и убедимся, что уравнение обращается в тождество: Таким образом, является частным решением исходного уравнения. Покажем линейную независимость функций и . Для этого вычислим определитель Вронского и убедимся, что он отличен от нуля. Вывод: линейно независимыми частными решениями ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами являются и , и общее решение есть при . В третьем случае имеем пару комплексных частных решений ЛОДУ и . Общее решение запишется как . Эти частные решения могут быть заменены двумя действительными функциями и , соответствующими действительной и мнимой частям. Это хорошо видно, если преобразовать общее решение , воспользовавшись формулами из теории функции комплексного переменного : где С₃ и С₄ – произвольные постоянные.

42. Лнду второго порядка. Теорема о структуре общего решения.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где p и q – произвольные действительные числа, а функция f(x) – непрерывна на интервале интегрирования X. Сформулируем теорему, которая показывает в каком виде искать общее решение ЛНДУ. Общее решение на интервале X линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами и непрерывной функцией f(x) равно сумме общего решения соответствующего ЛОДУ и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения. То есть, . Таким образом, общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами является сумма . Нахождение описано в статье линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и нам осталось научиться определять . Существует несколько методов нахождения частного решения ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы выбираются в зависимости от вида функции f(x), стоящей с правой части уравнения. Перечислим их.

1. Если f(x) является многочленом n-ой степени f(x) = P_n(x), то частное решение ЛНДУ ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен степени n, а r – количество корней характеристического уравнения, равных нулю. Так как - частное решение уравнения , то коэффициенты, определяющие многочлен Q_n(x), находятся методом неопределенных коэффициентов из равенства . Перейти к решению примера...

2. Если функция f(x) представлена произведением многочлена степени n и экспоненты , то частное решение ЛНДУ второго порядка ищется в виде , где Q_n(x) – многочлен n-ой степени, r – число корней характеристического уравнения, равных . Коэффициенты многочлена Q_n(x) определяются из равенства . Перейти к решению примера...

3. Если функция f(x) имеет вид , где А₁ и В₁ – числа, то частное решение ЛНДУ представляется как , где А и В – неопределенные коэффициенты, r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равных . Коэффициенты многочлена А и В находятся из равенства . Перейти к решению примера...

4. Если , то , где r – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения, равных , P_n(x), Q_k(x), L_m(x) и N_m(x) - многочлены степени n, k, m и m соответственно, m = max(n, k). Коэффициенты многочленов L_m(x) и N_m(x) находятся из равенства . Перейти к решению примера...

5. Для любого другого вида функции f(x) применяется следующий алгоритм действий. Находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения как y₀ = C₁ ⋅ y₁ + C₂ ⋅ y₂, где y₁ и y₂ - линейно независимые частные решения ЛОДУ, а С₁ и С₂ – произвольные постоянные. Далее варьируются произвольные постоянные, то есть, в качестве общего решения исходного ЛНДУ принимается y = C₁(x) ⋅ y₁ + C₂(x) ⋅ y₂. Производные функций C₁(x) и С₂(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C₁(x) и C₂(x) находятся при последующем интегрировании.

Терема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале (a, b) коэффициентами и правой частью

Ln(y) = ;

(20)

равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

Ln(y) = ;

(21)

и частного решения неоднородного уравнения (20): y_он(x) = y_оо(x) + y_чн(x) = (C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x)) + y_чн(x). Док-во. Мы должны доказать, что если известно частное решение y_чн(x) неоднородного уравнения (20), то любое его другое частное решение может быть получено по формуле при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n. Так как и y_чн(x), и - решения неоднородного уравнения (20), то L_n(y_чн(x)) = f(x) и , следовательно, по линейности оператора L_n(y), . Функция удовлетворяет однородному уравнению, поэтому содержится в формуле C₁ y₁(x) + C₂ y₂(x) + …+ C_n y_n(x) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n: . Таким образом, , что и требовалось доказать. Из предыдущей теоремы следует, что для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения необходимо знать его частное решение. Здесь мы сформулируем и докажем теорему, которая позволяет свести нахождение частного решения неоднородного уравнения с правой частью вида ( - постоянные) к, возможно, более простой задаче нахождению частных решений этого уравнения с правыми частями вида f(x) = f₁(x), f(x)=f₂(x):