4. Средняя гармоническая. Другие виды средних.

С редняя гармоническая (взвешенная) применяется в тех случаях, когда известен числитель логической формулы средней и неизвестен знаменатель. Знаменатель можно найти как частное двух показателей.

г де w_i = x_i*f_i. Если w_i одинаково у всех единиц совокупности, то для расчета средней применяется средняя гармоническая простая.

Пример 2. Известны данные по фирме о выпуске экспортной продукции за год (таблица 4).

Таблица 4

Вид продукции	Стоимость продукции на экспорт, тыс. руб.	Удельный вес продукции на экспорт от всей продукции, %	Стоимость всей продукции, тыс. руб.
	wi	xi	Wi / xi *100
Сталь	320	40	800
Прокат	420	35	1200
Итого	740	-	2000

Определите средний удельный вес продукции на экспорт по предприятию.

Решение: Составим логическую формулу средней величины (экономическое содержание).

Средний удельный вес Стоимость продукции на экспорт

продукции на экспорт = ______________­­­­­___­______________ * 100 .

Стоимость всей продукции

Т ак как по исходным данным известен числитель логической формулы и не известен знаменатель, то для расчетов данной средней величины будем применять среднюю гармоническую взвешенную. Неизвестные данные рассчитаем в таблице 4.

Таким образом, средний удельный вес экспортной продукции предприятия составляет 37%.

С редняя квадратическая применяется для определения средней по показателям, имеющим квадратные единицы измерения, а также для расчета показателей вариации. Расчетная формула имеет вид:

С редняя геометрическая применяется для определения средних темпов роста в рядах динамики. При этом варианты x_i представляют собой цепные относительные показатели динамики,

где k = k₁ + k₂ +….+ k_n .

5. Структурные средние.

Структурные средние применяются для характеристики рядов распределения. К ним относятся мода и медиана.

Мода (М_о) – это наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности, т.е. значение, имеющее наибольшую частоту.

Медиана (Ме) – это середина ряда распределения, т.е. значение признака, делящее рад распределения пополам по количеству единиц совокупности. Половина единиц совокупности имеют значения признака меньше медианы, вторая половина больше медианы.

Для нахождения моды по дискретному ряду распределения нужно выбрать значение, имеющее наибольшую частоту. Моды могут быть одна или две.

Для нахождения медианы по дискретному ряду распределения необходимо определить накопленные частоты и найти номер середины ряда. Далее выбирается то значение признака, где превышается половина единиц совокупности, т.е. значение из той группы единиц, в которой находится середина ряда распределения.

М ода и медиана по интервальным рядам с равными интервалами определяется по формулам.

Где Xм_о – нижний конец модального интервала (с наибольшей частотой);

k – ширина интервала;

f _Мо, f_Мо-1, f_Мо+1 – частоты в модальном интервале, до него и после него.

Медиана определяется по формуле

Где X_Ме – нижний конец медианного интервала (где превышена половина единиц совокупности по накопленным частотам);

k – ширина интервала;

f_Ме – частота в медианном интервале;

f_Ме-1^Н – накопленная частота до модального интервала.

Соотношение средней, моды и медианы между собой позволяет сделать вывод об асимметрии распределения признака в совокупности.

1. Распределение симметрично, если

2. Распределение имеет правостороннюю асимметрию, если

3. Распределение имеет левостороннюю асимметрию, если