Использование пакета анализа

Задача о гипотезах может быть решена с помощью следующих методов анализа:

1. Парный двухвыборочный t-тест для средних.

2. Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.

3. Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями.

4. Двухвыборочный z-тест для средних.

5. Двухвыборочный F-тест для дисперсий.

Парный двухвыборочный t-тест для средних. Парный двухвыборочный t-тест Стьюдента используется для проверки гипотезы о различии средних для двух выборок данных. В нем не предполагается равенство дисперсий генеральных совокупностей, из которых выбраны данные. Парный тест используется, когда имеется естественная парность наблюдений в выборках, например, когда генеральная совокупность тестируется дважды – до и после эксперимента.

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями. Двухвыборочный t-тест Стьюдента служит для проверки гипотезы о равенстве средних для двух выборок. Эта форма t-теста предполагает совпадение значений дисперсии генеральных совокупностей и обычно называется гомоскедастическим t-тестом.

Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями.  Двухвыборочный t-тест Стьюдента используется для проверки гипотезы о равенстве средних для двух выборок данных из разных генеральных совокупностей. Эта форма t-теста предполагает несовпадение дисперсий генеральных совокупностей и обычно называется гетероскедастическим t-тестом. Если тестируется одна и та же генеральная совокупность, используйте парный тест.

Двухвыборочный z-тест для средних с известными дисперсиями. Используется для проверки гипотезы о различии между средними двух генеральных совокупностей.

Двухвыборочный F-тест применяется для сравнения дисперсий двух генеральных совокупностей. Этот тест предоставляет результаты сравнения нулевой гипотезы о том, что эти две выборки взяты из распределения с равными дисперсиями, с гипотезой, предполагающей, что дисперсии различны.

Демонстрационный пример 4В

Рассмотрим задачу на применение Двухвыборочного F-теста для сравнения дисперсий двух генеральных совокупностей. Это может быть самостоятельной задачей, если мы оцениваем, например, точность двух приборов. Точность измерений будет одинаковой, если дисперсии равны. Кроме того F-тест используется перед проведением Двухвыборочного t-теста с одинаковыми дисперсиями.  

Пусть необходимо оценить существенность различий в скорости оседания эритроцитов (СОЭ) двух групп больных для уровня значимости α = 0,01 по следующим данным:

X	43	50	47	49	50	46	44
Y	39	40	37	43	39	41	40

Для того, чтобы выбрать тест для оценки существенности различий, т.к. рассматриваются выборки не повторных испытаний, нам нужно оценить равенство дисперсий. В зависимости от того равны они или нет выбрать соответствующий t-тест. Поэтому сначала проведем F-тест.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н₀: о равенстве дисперсий при альтернативной гипотезе Н₁: дисперсия первой группы больше дисперсии второй группы (одностороннее распределение, обычно здесь другие альтернативные гипотезы не используются) при уровне значимости α = 0,01.

Значения данных вносим в таблицу Excel в блоки А1:H1 и А2:H2. Вызываем пакет анализа данных Сервис – Анализ данных…. Выбираем из списка Двухвыборочный F- тест для дисперсии и нажимаем Ок. На экран будет выведено окно (см. рис. 4.3)

Рис. 4.3

В данном окне ввести Интервал переменной 1 блок А1:Н1 или выделить этот блок с помощью мыши. В Интервал переменной 2 ввести блок А2:Н2 или выделить этот блок с помощью мыши. Поставить флажок Метки. Ввести в поле Альфа уровень значимости 0,01. В Параметрах вывода щелкнуть Выходной интервал и ввести в поле ячейку А10 (или выделить эту ячейку с помощью мыши), с которой будет начинаться вывод результата анализа. Нажимаем кнопку Ок. На лист Excel будет выведена следующая таблица:

Двухвыборочный F-тест для дисперсии
	X	Y
Среднее	47	39,85714286
Дисперсия	8	3,476190476
Наблюдения	7	7
df	6	6
F	2,301369863
P(F<=f) одностороннее	0,166943934
F критическое одностороннее	8,466031431

В данной таблице параметры обозначают следующее: Среднее – средние арифметические значения выборок; Дисперсия – дисперсии выборок; Наблюдения – число опытов (объем выборки); df – k = n-1 (число степеней свободы); F – вычисленный параметр Фишера; P(F<= f)одностороннее – критический уровень значимости; F критическое одностороннее – табличное значение параметра Фишера для заданного уровня значимости 0,01. Нулевая гипотеза принимается при F<F_{критическое}, в противном случае, при F>F_{критическое,} принимается альтернативная гипотеза.

В нашем случае F = 2,3. Это значительно меньше F_{критическое} = 8,47. Следовательно, дисперсии одинаковы для уровня значимости 0,01 (вероятность 99 %).

Теперь переходим ко второй части задачи о существенности различий в СОЭ. Проверяем нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий СОЭ Н₀: а₁ = а₂ при альтернативной гипотезе, что они не равны Н₁: а₁ ≠ а₂ (двустороннее распределение) для уровня значимости 0,01.

Так как мы установили равенство дисперсий двух рядов, то используем Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями.  

Вызываем пакет анализа данных Сервис – Анализ данных…. Выбираем из списка Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями и нажимаем Ок. На экран будет выведено окно (см. рис. 4.4)

Рис. 4.4

В данном окне ввести Интервал переменной 1 блок А1:Н1 или выделить этот блок с помощью мыши. В Интервал переменной 2 ввести блок А2:Н2 или выделить этот блок с помощью мыши. В поле Гипотетическая средняя разность ввести ноль (т.к. нулевая гипотеза предполагает равенство математических ожиданий рядов). Поставить флажок Метки. Ввести в поле Альфа уровень значимости 0,01. В Параметрах вывода щелкнуть Выходной интервал и ввести в поле ячейку А22 (или выделить эту ячейку с помощью мыши), с которой будет начинаться вывод результата анализа. Нажимаем кнопку Ок. На лист Excel будет выведена следующая таблица:

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями
	X	Y
Среднее	47	39,85714286
Дисперсия	8	3,476190476
Наблюдения	7	7
Объединенная дисперсия	5,738095238
Гипотетическая разность средних	0
df	12
t-статистика	5,578560025
P(T<=t) одностороннее	6,00857E-05
t критическое одностороннее	2,680990292
P(T<=t) двухстороннее	0,000120171
t критическое двухстороннее	3,054537956

В данной таблице параметры обозначают следующее: Среднее – средние арифметические значения выборок; Дисперсия – дисперсии выборок; Наблюдения – число опытов (объем выборки); Объединенная дисперсия – пока не рассматриваем; Гипотетическая разность средних – гипотеза о равенстве математических ожиданий а₁-а₂ = 0; df – k = n₁+n₂-2 (число степеней свободы); t-статистика – рассчитанный параметр Т; t-критическое одностороннее – табличный параметр при альтернативной гипотезе математическое ожидание одной ГС больше (или меньше) математического ожидания второй ГС; t-критическое двухстороннее – табличный параметр при альтернативной гипотезе математические ожидания двух ГС не равны; P(T<=t) одностороннее и P(T<=t) двухстороннее соответствующие критические уровни значимости.

Для рассмотренного примера Т = 5,58, а t_табл = 3,05. Так как Т>t_табл для уровня значимости 0,01, то это означает, что различие в СОЭ для двух групп больных существенно.

Примечание:

В случае неравных дисперсий следует выбрать Двухвыборочный t-тест с разными дисперсиями.

Демонстрационный пример 4Г

Рассмотрим задачу на использование парного метода. Пусть нам дано: Группа спортсменов снижает вес по определенной диете (см. таблицу). Х – вес до диеты, Y – вес после диеты. Определить эффективность диеты для уровня значимости 0,05:

X	72	75	83	64	61
Y	69	70	75	61	60

Выдвинем нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий и альтернативную о том, что они не равны.

Так как дисперсии неизвестны и выборка тестируется дважды, то используем метод анализа Парный двухвыборочный t-тест для средних.

Значения таблицы вносим в блоки А1:А6 и В1:В6. Вызываем пакет анализа данных Сервис – Анализ данных…. Выбираем из списка Парный двухвыборочный t-тест для средних и нажимаем Ок.

В появившемся окне (Рис. 4.5), указываем Интервал переменной 1: блок А1:А6; Интервал переменной 2: блок В1:В6; Гипотетическая средняя разность: 0 (т.к. мы выдвинули нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий а₁-а₂ = 0);

Ставим флажок Метки; в поле Альфа введем 0,05 (заданный уровень значимости); ставим переключатель Выходной интервал и напротив, в поле, указываем ячейку D1. Нажимаем кнопку Ок.

Рис. 4.5

На лист Excel будет выведена следующая таблица:

Парный двухвыборочный t-тест для средних
	X	Y
Среднее	71	67
Дисперсия	77,5	40,5
Наблюдения	5	5
Корреляция Пирсона	0,990637172
Гипотетическая разность средних	0
df	4
t-статистика	3,380617019
P(T<=t) одностороннее	0,013884806
t критическое одностороннее	2,131846782
P(T<=t) двухстороннее	0,027769613
t критическое двухстороннее	2,776445105

В данной таблице параметры обозначают следующее: Наблюдения – число опытов (объем выборки); Корреляция Пирсона – пока не рассматриваем; Гипотетическая разность средних – гипотеза о равенстве математических ожиданий а₁-а₂ = 0; df – k = n-1 (число степеней свободы); t-статистика – рассчитанный параметр Т; t-критическое одностороннее – табличный параметр при альтернативной гипотезе математическое ожидание одной ГС больше (или меньше) математического ожидания второй ГС; t-критическое двухстороннее – табличный параметр при альтернативной гипотезе математические ожидания двух ГС не равны; P(T<=t) одностороннее и P(T<=t) двухстороннее соответствующие критические уровни значимости.

Для рассмотренного примера Т = 3,38, а t_табл = 2,77. Так как Т>t_табл для уровня значимости 0,05, то это означает, что диета эффективна.