§ 8. Статистические задачи Вариационный ряд. Гистограмма. Полигон

1. Построить полигоны частот по нижеследующим частотным таблицам:

А)

xi	25	28	30	32	34	36	40
mi	5	15	17	24	25	16	10

Б)

xi	1	2	3	4	5	6
mi	5	10	10	25	40	10

2. Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови больных обезьян. Получена случайная выборка объема n = 50: 9, 10, 8, 7, 9, 10, 10, 10, 8, 7, 8, 7, 10, 7, 8, 6, 8, 10, 7, 6, 8, 5, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 5, 9, 7, 7, 7, 8, 7, 7, 9, 6, 11, 9, 8, 8, 7, 7, 5, 11, 8, 6, 8. Составить интервальный вариационный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

3. Изучалось содержание кальция (мг %) в сыворотке крови здоровых обезьян. Получена случайная выборка объема n = 44: 8, 10, 8, 8, 9, 8, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 8, 9, 8, 8, 7, 7, 8, 9, 11, 9, 8, 8, 9, 10, 7, 9, 7, 8, 8, 8, 7, 7, 7, 8, 7, 7, 9, 8, 6, 10, 8, 10. Составить интервальный вариационный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

4. Изучалось среднее артериальное давление (мм рт. ст.) в начальной стадии шока. Получена случайная выборка объема n = 50: 112, 110, 107, 103, 108, 109, 111, 110, 103, 103, 103, 109, 102, 113, 106, 108, 105, 108, 104, 99, 112, 112, 103, 101, 98, 100, 97, 98, 100, 98, 107, 108, 99, 98, 92, 98, 110, 106, 105, 102, 100, 101, 100, 95, 100, 105, 100, 102, 102, 99, 97. Составить интервальный вариационный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

5. Изучался рост (см) мужчин возраста 25 лет для сельской местности. Получена случайная выборка объема n=35: 175, 167, 168, 169, 168, 170, 174, 173, 177, 172, 174, 167, 173, 172, 171, 171, 170, 167, 174, 177, 171, 172, 173, 169, 171, 173, 168, 173, 172, 166, 164, 168, 172, 174. Составить интервальный вариационный ряд распределения и построить гистограмму относительных частот. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

6. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (В): 227; 219; 215; 230; 232; 223; 220; 222; 218; 219; 222; 221; 227; 226; 226; 209; 211; 215; 218; 220; 216; 220; 220; 221; 225; 224; 212; 217; 219; 220. Построить вариационный ряд и начертить полигон. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

7. Наблюдения за сахаром в крови у 50 человек дали такие результаты:

3,94	3,84	3,86	4,06	3,67	3,97	3,76	3,61	3,96	4,04
3,82	3,94	3,98	3,57	3,87	4,07	3,99	3,69	3,76	3,71
3,81	3,71	4,16	3,76	4,00	3,46	4,08	3,88	4,01	3,93
3,92	3,89	4,02	4,17	3,72	4,09	3,78	4,02	3,73	3,52
3,91	3,62	4,18	4,26	4,03	4,14	3,72	4,33	3,82	4,03

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами и начертить гистограмму. Найти среднее арифметическое значение выборки, дисперсию и стандартную ошибку.

Интервальное оценивание

1. При проверке годности партии таблеток (500 шт.) оказалось, что средний вес таблетки 0,35 г, а СКО веса 0,015 г. Найти доверительный интервал, в который с вероятностью 95 % попадает норма веса таблетки.

2. Имеется ряд анализов здоровых людей на содержания гормона (в мг/л): 11; 12; 10; 10,5; 11,5. Найти интервал, в который с 99 % вероятностью попадает среднее значение этого анализа.

3. Сроки стационарного лечения 32 больных (в днях): 12, 14, 7, 16, 18, 12, 12, 14, 14, 17, 18, 15, 18, 19, 17, 15, 15, 15, 17, 16, 9, 10, 10, 11, 16, 19, 20, 16, 17, 18, 18, 15. Найдите границы интервала для математического ожидания этого параметра для вероятности 90 %.

4. Вес человека является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 72 кг и С.К.О. 8 кг. Определить какой процент населения имеет вес в интервале от 64 до 80 кг.

5. По данным обследования 200 человек составлена таблица содержания цистина в плазме крови:

Цистин, мг/л	2,0-2,2	2,2-2,4	2,4-2,6	2,6-2,8	2,8-3,0
кол-во чел.	40	80	50	20	10

Определить доверительную вероятность того, что норма этого показателя будет заключена в интервале 2,34 – 2,42.

6. При измерении температуры у 9 больных были получены данные: среднее значение 37,8; СКО средних значений 0,09. Найти величину доверительного интервала, в который с вероятностью 90 % попадает математическое ожидание температуры при данном заболевании.

7. Длительность лечения в стационаре 45 больных пневмонией (в днях): 25, 11, 12, 13, 24, 23, 23, 24, 21, 22, 21, 23, 22, 21, 14, 14, 22, 20, 20, 15, 15, 16, 20, 20, 16, 16, 20, 17, 17, 19, 19, 19, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 17, 17, 18, 18, 19, 26. Определить величину доверительного интервала, в который попадет следующее значение с вероятностью 0,95.

8. Известно, что для человека pH крови является случайной величиной, имеющей нормальное распределение с математическим ожиданием 7,4 и дисперсией 0,0009. Найти вероятность того, что значение pH случайно выбранного человека находится в пределах от 7,35 до 7,45.

9. При определении содержания хлора в препарате было произведено 50 измерений и получены следующие результаты: среднее арифметическое значение 60,10 г, СКО равно 0,12 г. Определить вероятность того, что истинное значение количества хлора в препарате отличается от среднего арифметического не более чем на 0,03 г.

10. При подсчете количества листьев у одного из лекарственных растений были получены следующие данные: 8, 10,7, 9, 11, 6, 9, 8, 10, 7. Найти случайную ошибку в определении среднего значения количества листьев для вероятности 95 %.

11. При определении времени реакции у 5 человек получили значения: 0,10; 0,12; 0,11; 0,15; 0,12 с. С какой вероятностью следующее значение попадает в доверительный интервал равный 0,1 с.

12. При определении количества ртути в почках у 100 человек, найдены следующие концентрации ртути (в мкг на сто грамм органа):

Количество ртути	36	38	40	42	44
Количество человек	5	20	50	20	5

Определить интервал, в который с вероятностью 90% попадет математическое ожидание количества ртути.

13. При определении силы кисти человека с помощью динамометра получили следующие значения: 50, 40, 45, 43, 47 кг. Определить с какой вероятностью следующее значение попадает в интервал от 40 до 50 кг.

14. В результате 40 измерений диаметра капилляра в стенке легочных альвеол были получены следующие данные: среднее значение равно 2,83 мм. Среднее квадратичное отклонение равно 0,31 мм. Вычислить ошибку в определении истинной величины диаметра капилляра при доверительной вероятности 0,95.

15. При определении средней продолжительности жизни людей (в годах) в одном из районов нашей страны на выборке 10000 человек были получены следующие результаты: среднее арифметическое значение 73 с дисперсией средних значений 0,0009. Определить вероятность того, что продолжительность жизни отдельного человека в этом регионе попадает в интервал от 70 до 76.

16. При пятикратном измерении нижней границы области слышимости по частоте для одного человека получены значения: 20 Гц; 16 Гц; 21 Гц; 22 Гц; 21 Гц. Найти интервал, в который попадает истинное значение нижней границы области слышимости с вероятностью 95 %

17. Количество дней до выздоровления в группе больных с одним и тем же диагнозом распределилось следующим образом: 10; 11; 19; 12; 13. Найти интервал, в который попадает количество дней до выздоровления следующего больного с вероятностью 90 % .

Статистические гипотезы

1. При уровне значимости проверить различие продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) по следующим данным:

X	59	64	67	70	75
Y	72	74	76	78	80

2. При уровне значимости проверить различие продолжительности жизни группы курильщиков (X) и группы некурящих (Y) по следующим данным:

X	66	68	70	72	74
Y	72	74	76	78	80

3. Исследовали частоту возникновения цирроза при алкогольном гепатите и стеатозе печени. При уровне значимости проверить нулевую гипотезу H₀: a₁ = a₂, при конкурирующей гипотезе H₁: a₁ ≠ a₂, по следующим данным:

Частота цирроза, % (стеатоз)	4	10,4	2,5	4,4	9,6	1,8	9,8
Частота цирроза, % (гепатит)	56	38	33	58	50	35	53

4. На медицинском обслуживании МСЧ-21 состоит несколько предприятий, в том числе ОАО МСЗ (завод по производству ядерного топлива). Общая заболеваемость на ОАО МСЗ (на 1000) и в целом по МСЧ-21 дана в таблице:

ОАО МСЗ	1542,0	1519,7	1590,6	1739,6	1720,0	1770,5	1920,6	1916,1
МСЧ-21	1440,0	1438,0	1405,6	1568,2	1614,5	1598,8	1720,0	1818,3

Проверить гипотезу о равенстве генеральных средних, при уровне значимости .

5. У больных в критическом состоянии был проведен тест с магниевой нагрузкой для выявления дефицита магния. По результатам тестирования больных разделили на две группы – с выраженным дефицитом магния и без дефицита магния. Определяли концентрацию плазменного магния (ммоль/л):

1-я группа	0,98	0,62	1,05	1,15	0,82	0,67	0,98	0,78	0,94	1,04
2-я группа	0,77	0,90	0,78	0,98	0,81	0,64

Проверить гипотезу о различии концентраций данных групп для уровня значимости .

6. Средняя длина скорлупы 8 мелководных крабов оказалось равной 8,40 см при исправленной выборочной дисперсии этих длин 0,0016 см² , а средняя длина скорлупы 12 глубоководных крабов оказалось равной 8,61 см при исправленной выборочной дисперсии этих длин 0,0038 см² . Предлагается (с известной степенью точности), что обе выборки независимы и извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей. Определить, значимо или нет различаются между собой дисперсии длины скорлупы мелководных и глубоководных крабов при уровнях значимости α = 0,01 и α = 0,05. Если различия между дисперсиями незначимы, проверить также гипотезу о равенстве генеральных средних.

7. Обследование 10 яиц, положенных кукушками в гнезда одного определенного вида птиц, показало, что средняя длина яйца мм, а S_x = 0,79 мм. Обследование 15 яиц, положенных кукушками в гнезда другого определенного вида птиц, показало, что мм, а S_x = 0,86 мм. Считается, что длина яйца распределена приближенно нормально. Определить значимость различий между дисперсиями длин яиц, положенных кукушками в гнезда разного вида птиц и, если различия между дисперсиями незначимы, проверить гипотезу о равенстве средних длин яиц. Уровни значимости принимаются α = 0,01 и α = 0,05.

8. Даны результаты измерений частоты сердечных сокращений 11 студентов, проведенных сразу после окончания занятий по физкультуре, и 10 студентов – через полчаса после окончания этих занятий: выборочные дисперсии равны 139,9 и 74,2, соответственно. При уровнях значимости α = 0,01 и α = 0,05. в предположении приближенной нормальности проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

9. Для проверки эффективности нового лекарственного препарата А отобраны две группы больных. Одна группа (n₁ = 50 человек) контрольная, которая получала плацебо, а вторая группа (n₂ = 70 человек) получала препарат А. Среднее значение некоторого гемодинамического показателя составило – в первой группе и во второй. Дисперсии в группах равны соответственно и . При уровне значимости выяснить, действительно ли препарат эффективен?

10. При анализе препарата дифференциальным методом по двум независимым выборкам объёмов n₁ = 11 и n₂ = 14, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей X₁ и X₂, получены исправленные выборочные дисперсии и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

11. По двум независимым выборкам, объемы которых n₁ = 14 и n₂ = 10, извлеченных из нормальных генеральных совокупностей X₁ и X₂ найдены исправленные выборочные дисперсии летальных доз двух препаратов и . При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий H₀: , при конкурирующей гипотезе H₁: .

12. При анализе вещества двумя способами по двум независимым выборкам объемов n₁ = 10 и n₂ = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X₁ и X₂, найдены выборочные средние и и исправленные дисперсии и . При уровне значимости проверить:

1) равенство дисперсий по критерию Фишера;

2) проверить нулевую гипотезу H₀: a₁=a₂, при конкурирующей гипотезе H₁: a₁≠a₂.

Корреляционный анализ

1. В нижеследующих задачах требуется вычислить выборочный коэффициент корреляции между переменными Y и X и найти выборочное уравнение прямой средней квадратической регрессии Y на X.

№ 1. Изучалась зависимость между содержанием коллагена Y и эластина X в магистральных артериях головы (г/100 г сухого вещества) (возраст 51-75 лет). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 5:

X	13,50	13,09	6,45	7,26	8,80
Y	33,97	38,07	53,98	46,00	48,61

№ 2. Изучалась зависимость между массой новорожденных павианов-гамадрилов X (кг) и массой их матерей Y (кг). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 9:

X	0,7	0,73	0,75	0,7	0,65	0,7	0,61	0,70	0,63
Y	10	10,8	11,3	10	11,1	11,3	10,2	13,5	12

№ 3. Изучалась зависимость между объемом грудной клетки мужчин Y (см) и ростом X (см). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 7:

X	162	164	179	172	182	188	168
Y	88	94	98	100	102	108	112

№ 4. Изучалась зависимость между минутным объемом сердца Y (л/мин) и средним давлением в левом предсердии X (мм рт. ст.). Результаты наблюдений приведены в таблице в виде двумерной выборки объема 5:

X	4,8	6,4	9,3	11,2	17,7
Y	0,4	0,69	1,29	1,64	2,4

Регрессионный анализ

1. В 100 частях воды растворяется следующее число условных частей азотнокислого натрия NaNO₃ (признак Y) при соответствующих температурах (X):

X	0	4	10	15	21	29	36	51	68
Y	66,7	71,0	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4	113,6	125,1

На количество растворившегося NaNO₃ влияют случайные факторы. Предполагается наличие стохастической линейной зависимости между температурой и количеством растворившегося NaNO₃ . Найти прогнозируемую температуру, если число условных частей растворившегося NaNO₃ Y = 83,2 .

2. Коррелируют ли случайные величины количество выкуриваемых в день сигарет (x) и продолжительность жизни (y) по следующим данным:

Х	0	10	20
У	75	64	62

Какова будет ожидаемая продолжительность жизни, если выкуривается 5 сигарет в день?

3. Определить, коррелируют ли количества нейтрофилов в анализах отцов и сыновей, по следующим данным:

X, ед. (у отца)	25	30	40	35	20	30
Y, ед. (у сына)	23	26	37	34	40	28

Какое количество нейтрофилов будет ожидаться у сына, если количество нейтрофилов у отца равно 27.

4. При определении корреляции между величиной радиоактивного фо­на и частотой некоторого заболевания (число заболевших в год на 10000 человек) получили следующие данные:

ФОН (мр/час)	4	6	8	10	12
Частота заболеваний	10	10	20	20	40

Определить, сколько ожидается заболевших в год при радиоактивном фоне 15 мр/час.

5. При измерении времени реакции пяти человек на звуковой и световой раздражители получили следующие результаты:

звуковой раздр. (мс)	400	410	450	350	390
световой раздр. (мс)	90	100	110	90	85

Чему будет равно время реакции на звуковой раздражитель, если время реакции на световой раздражитель равно 130 мс.

Факторный анализ

1. При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить эффективность воздействия β-блокатора на частоту сердечных сокращений (уд/мин) по результатам, приведенным в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Номер испытания	Уровни β-блокатора (суточная дозировка), мг
	F1 = 15	F2 = 60	F3 = 120	F4 = 180
1	100	85	65	55
2	90	80	70	60
3	95	80	75	55
4	105	75	65	65

2. При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить эффективность воздействия рентгеновского облучения на темп размножения определенного вида бактерий по данным, приведенным в табл. 8.2, где представлен относительный уровень (в процентах) размножения облученных бактерий к необлученным.

Таблица 8.2

Номер испытания	Дозы облучения F, 103 Р
	F1 = 1	F2 = 2	F3 = 3	F4 = 4
1	94	87	83	77
2	96	91	85	76
3	97	86	82	79
4	92	88	84	76

3. При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить значимость влияния двух факторов: рН среды (фактор А) и концентрации (в процентах) лиганда (фактор В) на экстракцию комплекса металла с лигандом из водной в органическую фазу по данным в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Уровни Аi	Уровни Bi
	В1 = 1	В2 = 2	В3 = 3
3	63	42	71
6	69	73	82
9	91	68	60

4. При уровне значимости α = 0,05 методом дисперсионного анализа проверить существенность влияния температуры (фактор А) и влияния фермента (фактор В) на выход продукта биологического синтеза по данным в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Уровни Аi ˚C	Уровни Bi, усл. ед
	В1 = 44	В2 = 52
А1 = 27	100	90
А2 = 33	86	87

5. При выявлении влияния реагентов А и B на синтез лекарственного препарата получены результаты (выход X в условных единицах), представленные в табл. 8.5. Для α = 0,05 проверить эффективность влияния реагентов А и B на синтез лекарственного препарата.

Таблица 8.5

Уровни А1	Уровни Bi
	B1	B2	B3	B4
А1	4,5	3,0	4,0	3,5
А2	3,5	2,5	3,5	2,0
А3	6,5	5,5	4,5	6,0
А4	7,5	7,0	8,5	7,0

Приложение 1

Таблица значений функции Лапласа Ф(t) =

t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)	t	Ф(t)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422	0,97	0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486	0,99	0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2516	1,00	0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549	1,01	0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611	1,03	0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673	1,05	0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734	1,07	0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794	1,09	0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852	1,11	0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910	1,13	0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,19	0,0753	0,51	0,1950	0,83	0,2967	1,15	0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023	1,17	0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078	1,19	0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,25	0,0987	0,57	0,2157	0,89	0,3133	1,21	0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186	1,23	0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3228	1,25	0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264	1,26	0,3962
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289	1,27	0,3980