6.2. Длина дуги.

а) Если кривая задана управлением вида или ,то длина дуги вычисляется по формуле

где a и b (a<b)-абсциссы начала и конца дуги, или

где c и d (с<d)-ординаты начала и конца дуги

б) Если кривая задана параметрическими уравнениями

то длина её дуги вычисляется по формуле

Где t_{1 и} t_{2 (}t₁ и t₂₎-значения параметра,

соответствующие концам дуги.

в) Если кривая задана уравнением в полярных координатах ,то длина дуги вычисляется по формуле

Где α и < -значение полярного угла соответствующее концам дуги.

6.2.1.Найти длину дуги кривой

от до

Решение. Уравнение разрешено относительно , поэтому вычисления длины дуги воспользуемся формулой

6.2.2.Найти длину окружности.

Решение. Возьмём окружность радиуса R c центром в начале координат. Её уравнение

Найдём из него у

Знак плюс отвечает верхней полуокружности, а минус – нижней.

Найдём длину четверти окружности, лежащей в первой четверти.

Учитывая, что абсциссы х точки на окружности, находящейся в первом квадранте, изменяется от до ,а поэтому

6.2.3.Найти периметр фигуры, ограниченной кривыми

и

Решение. Совместно решая уравнения кривых, определим две точки их пересечения А(1;1) и В(1;1).Построим эти точки и проходящие через них кривые, получим фигуру, симметричную оси Оу.

Пользуясь формулой найдём длину дуги ОА

Аналогично найдём длину дуги СА

Следовательно, искомый периметр фигуры

6. 2.4.Вычислить длину дуги одной арки цилиндра

Решение. Дифференцируем по t параметрические уравнение циклоида

Одна арка циклоиды

Получается при изменение х от до ,и соответственно параметра t от до

Поэтому

6.2.5.Найти длину дуги кривой от

до

Решение. Найдём производные по параметру .

Длина дуги равна

6.2.6.Вычислить длину дуги кривой

Решение. Из данного уравнения кривой находим производную

Половина этой кривой

описывается концом полярного радиуса при изменении от до .Поэтому согласно формуле длина всей кривой

6.2.7 Найти длину гиперболической спирали

От точки до точки

Решение. Разрешаем уравнение спирали относительно . .При радиус-вектор спирали неограниченно уменьшается и витки спирали неограниченно приближаются к полюсу. Нас интересует длина дуги АВ спирали, соответствующая значению полярного угла от до .Из уравнения спирали и искомая длина равна

Сделаем замену перемену, положив

Тогда

Новые пределы интегрирования

Таким образом,

6.3.Вычисление объёмов тел вращения.

Объём тела вращения криволинейной трапеции, ограниченной кривой ,осью и двумя вертикалями вокруг осей и ,выражается соответственно формулами:

Если фигура, ограниченная кривыми

и

и прямыми вращается вокруг оси ,то объём тела вращается

Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой и двумя полярными радиусам вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле

6.3.1. Эллипс, большая ось которого 2а, малая 2b(а>b) вращается:

1)вокруг большой оси;

2)вокруг малой оси.

Найти объём получающихся эллипсоидов вращения. В частном случае определить объём шара.

Решение. Напишем уравнение эллипса.

Из уравнения эллипса

По условию большая полуось равна ,следовательно, промежуток интегрирования будет от до

Откуда

Найдём объём тела, образованного при вращении эллипса вокруг оси .

Из уравнения эллипса

По условию малая полуось эллипса равна , следовательно промежуток интегрирования будет от до ;

Откуда

Частный случай эллипсоида вращения, когда ,есть шар

Таким образом, объём шара

где -радиус шара.

6.3.2.Вычислить объём тела ,полученного вращением вокруг оси Ох фигурой ограниченной параболой и

Решение.

Решив систему

п олучим откуда точки пересечения кривых и

Как видно, искомый объём тела вращения равен разности двух объёмов.

6.3.3.Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной арки циклоиды

Решение. Находим и

И переходим к новым пределам интегрирования (по ).Первой арки циклоиды соответствуем изменение параметра от до (см. задачу № ),поэтому для искомого объема получаем

6.3.4.Определить объём ,образованный вращением кривой вокруг полярной оси

Решение.