6.4. Вычисление объемов тел по известным поперечным сечениям

Если S=S(x)-площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем за ось Ох), в точке с абсциссой х, то объём этого тела равен

Где и -абсциссы крайних сечений тела.

6.4.1.Определить объем клина ,отсечённого от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр основания и наклонённой к основанию под углом .Радиус основания равен

Решение. Примем за ось диаметр основания, по которому секущая плоскость основания, и за ось диаметр основания, ему перпендикулярный.

Уравнение окружности основания будет

Площадь сечения АВС ,относящегося на расстоянии от начала координат ,равна

Из уравнения окружности основания имеем

Поэтому искомый объем клина равен

6.4.2 Круг переменного радиуса перемещается таким образом, что одна из точек его окружности остаётся на оси абсцисс, центр движется по окружности , а плоскость этого круга перпендикулярна к оси абсцисс. Найти объём тела, который при этом получается.

Решение.

Из условия задачи следует, что переменный радиус круга равен координате центра круга у отсюда

выражается из из уравнения окружности

получим

Абсциссы крайних точек сечения равны и ,причем при перемещении круга по нижней верхней полуокружности образуются равные тела. Поэтому

6.4.3.Центр квадрата переменного размера перемещается вдоль диаметра круга радиуса ,причём плоскость, в которой лежит квадрат ,остаётся перпендикулярна к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности. Найти, объём тела образованного этим движущимся квадратом.

Решение. Направим ось по диаметру круга и поместим начало координат в центре круга.

Тогда уравнение окружности будет ,а

,где – сторона квадрата равная . Отсюда

Следовательно

6.5.Площадь поверхности вращения.

Если кривая задана параметрическим уравнениями

,

То площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги этой кривой, вычисляется по формуле

где и -значение параметра соответствующее концам дуги.

Если кривая задана уравнением вида

,

То вместо формулы получим

Где и - абсциссы начала и конца дуги.

6.5.1.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги синусоиды от до

Решение. Находим ,тогда

Сделаем замену переменной

Найдём пределы интегрирования по :

если ,то

если , то

Таким образом

6.5.2.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кубической параболы заключённой между прямыми и

Решение. Построив дугу параболы между точками А и В где ,

замечаем, что образуемая поверхность вращения этой дуги вокруг оси Ох состоит из двух одинаковых частей.

Поэтому согласно формуле имеем

Для вычисления интеграла полагаем

Тогда

при при

6.5.3.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси абсцисс астроиды

Решение

Составим подынтегральные выражения в соответствии с формулой

Изменения параметра е от t=0 до соответствует движение точки по астроиде от А до В. Дуга АВ при вращение оси Ох половину искомой площади, поэтому