1.3. Теорема существования определенного интеграла (без доказательства).
Как видим, не всякая
функция интегрируема на заданном
отрезке. Однако имеет место следующая
важная теорема: Если функция
f(x)
непрерывна на отрезке [a;b]
то
существует, т.е. предел (1.2.2) существует
и не зависит от способа разбиения отрезка
[a;b]
на частичные отрезки и от выбора точек
на
этих отрезках.
Большое практическое значение этой теоремы очевидно. Она, например, показывает, что всякая криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой, обладает определенной площадью.
1.4. Основные свойства определенного интеграла.
Рассмотрим простейшие свойства определенного интеграла.
Свойство 1.4.1 Определенный интеграл от алгебраической суммы несколько функции равен алгебраической сумме интегралов слагаемых.
Так,
в случае 2-х слагаемых:
(1.4.1)
Доказательство:
По определению,
Замечание: Для любого числа слагаемых доказательство проводится аналогично.
Свойство 1.4.2 Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:
(1.4.2)
где k=const.
Доказательство:
Свойство 1.4.3 При перестановке пределов интегрирования интеграла умножается на «-1»:
(1.4.3)
Доказано, если для отрезков [a;b] и [b;a] взять те же точки деления и те же точки , то
о
твечающие
им интегрируемые суммы будет отличаться
лишь знаками. (во втором случае
будут отрицательным).
Переходя к lim в этих суммах, получим доказываемое равенство.
Замечание. По определению полагают, что интеграл с одинаковыми пределами =0:
Свойство 1.4.4
Если отрезок [a;b]
разбит на отрезки [a;c]
и [c;b],
то
(1.4.4)
Д
оказательство:
Разделим отрезок [a;b]
на части так, чтоб точка с была одной из
точек деления (т.к. lim
суммы
не зависит от способа разбиения)
Пусть
Тогда
Так обратная интегральная сумма для отрезка [a;b] окажется состоящей из совокупности интегрируемых сумм для отрезков [a;c] и [c;b].
Переходя к пределу в равенстве (1) при всех получим доказываемое равенство.
Свойство 1.4.5 Свойство, выражаемое неравенствами
Если
функция f(x),
интегрируемая на [a;b],
неотрицательна:
и
,то
(1.4.5)
Доказательство:
По условию
(при
любых
).
В интегральной сумме
все
слагаемые неотрицательны, значит и
сумма неотрицательна. Следовательно и
её пределы тоже, т.е. определённый
интеграл
(при a<b).
Если на [a;b],
где a<b,
интегрируемые функции f(x)
и
удовлетворяют
условию
,
то
.
Предыдущее свойство
применим к разности
:
т.к.
,
то
(где a<b),
откуда
,
или
Свойство 1.4.6 Об оценке определенного интеграла
Если
функция f(x)
интегрируема на
,
где
,
и имеет место неравенство
то
(1.4.6)
Доказательство:
Из условия теоремы
имеем:
(при
любом i);
тогда
;
просуммируем
.
Переходя к пределу при
,
получим доказываемое неравенство (m
и M-наименьшее
и наибольшее значения функции на [a;b]).
Свойство 1.4.7 Теорема о среднем значении
Если функция
непрерывна
на отрезке
,
то на этом отрезке найдётся такая точка
,
что
(1.4.7)
Доказательство:
Пусть
;
и
-наибольшее
и наименьшее значения функции
на
отрезке
,
тогда (по предыдущей теореме)
Разделим
его на
;
Обозначим
;
где
По условию, -непрерывная функция, поэтому она принимает все промежуточные значения, заключенные между и (по теореме о промежуточных значений – см. свойства функции, непрерывности на отрезке).
Поэтому на
найдется
такая точка
,
что
.
,
откуда
Замечание 1.4.7: Так как определенный интеграл есть постоянное число, которое вполне определяется подынтегральной функцией и пределами интегрирования, то безразлично, какой буквой обозначать переменную интегрирования.
Свойство 1.4.8 Оценка модуля определенного интеграла
Если функция
непрерывна
на отрезке
,
то
(1.4.8)
Доказательство:
По условию,
-непрерывна
на
;
поэтому и
-функция
непрерывная на этом отрезке, а потому
существует.
Далее, так как
,
то по теореме VI
(если
,
то
при
)
получаем:
,
а это и означает, что