7.5. Кинематическая энергия

Кинематической энергией материальной точки, имеющей массу m и обладающей скоростью , называется выражение

Кинематическая энергия системы n материальных точек с массами m₁,m_2,….m_n,обладающих соответственно скоростью ,равна

Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек),а затем, суммируя кинетические энергии этих частиц ,в пределе вместо суммы получают интеграл.

7.5.1. Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности с радиусом основания и высотой ,вращающегося с угловой скоростью вокруг своей оси.

Решение.

За элементарную массу dm принимаем массу полого цилиндра высоты h,с внутренним радиусом r и толщиной стенок dr .Имеем:

Так как линейная скорость массы dm равна ,то элементарная кинетическая энергия есть

Отсюда

7.6. Статический момент.

Статический моментом относительно оси материальной точки А, имеющей массу m и отстоящей от оси l на расстоянии d,называется величина

Статическим моментом относительно оси l системы n материальных точек с массами ,лежащих в одной плоскости с осью и удаленных от неё на расстояния d₁,d_2,…..d_n называется сумма

Причем расстояние точек, лежащих по одну сторону оси L,берутся со знаком плюс (+),а по другую –со знаком минус(+). Если массы непрерывно заполняют линию или фигуру плоскости XOY ,то статические моменты M_x и M_y относительно координатных осей ОХ и ОY выражаются соответствующими интегралами. Для случая геометрических фигур плотность считается равной единице.

1)Для кривой x=x(s) y=y(s) где параметр s есть длина дуги имеем

-дифференциал дуги.

2)Для плоской фигуры ,ограниченной кривой y=y(x),осью OX и двумя вертикалями x=a и x=b имеем:

7.6.1. Найти статические моменты M_x и M_y треугольника ограниченного прямыми x+y=a , x=0 , y=0 (плотность )

Решение.

Здесь y=a-x

Применяя формулы получим

Равенство моментов можно было установить и из соображения симметрии.

7.6.2.Найти статические моменты и фигуры ,ограниченной параболой осью и ординатой ,соответствующей абсциссе .

Решение: Так как ,то

7.7.Координаты центра тяжести.

Центром тяжести совокупности материальных точек называется центр параллельных сил тяжести, приложенных в этих точках .

Для материальной дуги АВ плоской кривой прямоугольные координаты центра тяжести С определяются формулами

,

где -масса дуги АВ; и -статические моменты этой дуги относительно осей Ох и Оу; - линейная плотность распределения массы в точке дифференциал дуги;(А) и (В) обозначают значения выбранной переменной интегрирования в точках А и В.

Для материальной однородной криволинейной трапеции, прилегающей к оси Ох

7.7.1. Найти центр тяжести четверти окружности ,расположенной в первом квадроите , если в каждой её точке линейная плотность пропорциональна произведению координат точки.

Решение: Из уравнения окружности найдём затем :

Далее вычислим интегралы, содержащиеся в формулах ,полгая, согласно условию,

Получим

7.7.2. Найти центр тяжести однородной арки циклоиды

Решение.

Данная однородная дуга симметрична относительно прямой .Поэтому центр тяжести дуги лежит на этой прямой, т.е. .Для определения найдем дифференциал дуги циклоиды

и вычислим

Следовательно

7.7.3. Найти центр тяжести однородной фигуры (пластинки), ограниченной параболой и осями координат

Решение. Данная фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла,

Поэтому

Вычислим интегралы

Следовательно

7.7.4. Определить координаты центра тяжести сегмента параболы y² = ax, отсекаемого прямой x = a

Решение. В данном случае , , поэтому

,

y_c = 0 (так как сегмент симметричен относительно оси Ox).

7.8. Согласно закону Гука, удлинение ∆l стержня длиной l постоянного сечения F под действием растягивающей нормальной силы Р определяется формулой

где Е — модуль упругости материала, из которого сделан стержень. Определить удлинение свободно подвешенного цилиндрического стержня длиной / см и поперечного сечения F см² под действием его

собственного веса. Удельный вес материала стержня γ г/см³.

Решение. Разделим стержень

на элементарные цилиндрические стержни. Эти элементы будут

испытывать различные растяжения, так как они находятся под

действием различных сил веса.

Вычислим по формуле растяжение элементарного цилиндра высотой Дх, находящегося на расстоянии х от места подвеса. На него действует сила веса, равная весу нижележащей части стержня. Длина этой части равна (l — х), объем ее — (l- х)F,а вес—(l-x)E_γ Полагая в формуле (11,9) l=∆x; Р=(l-x)E_γ,получим, что ра­стяжение элементарного цилиндра приближенно равно

Суммируя растяжения этих элементарных цилиндров и пере­ходя к пределу при условии, что число этих элементарных ци­линдров неограниченно возрастает, а высота ∆x каждого из них неограниченно убывает, общее удлинение стержня найдем по фор­муле

Ответ: