4 Лекция

4.2 Принцип возможных перемещений

 

Принцип возможных перемещений сформулирован в 1788 г. французским математиком и механиком Ж.П.Лагранжем (1736 − 1813) и поэтому носит название принципа Лагранжа.

Суть принципа состоит в следующем: во всякой загруженной внешними силами и находящейся в равновесии системе сумма работ внешних и внутренних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю.

Этот принцип может быть использован в статике при решении задач определения опорных реакций вместо привычного способа составления уравнений равновесия.

 

4 Лекция

4.3 О взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений

 

Балку на двух опорах загрузим следующем образом:

а) сначала силой P₁, а затем силой Р₂ (рисунок 4.7а);

б) одновременно P₁ и Р₂. (рисунок 4.7б).

Рисунок 4.7а – Загружение балки сосредоточенными силами P

В первом случае (А) в момент приложения силы P1, она (эта сила) совершает работу: V1=0.5×P1×Δ11 после приложенной силы Р2, работа обоих будет равна: V2 = 0.5(P2×Δ22+ P1×Δ12) суммарная работа этих сил равна: V = V1+ V2 = 0.5×P1×Δ11 + 0.5 ×P2×Δ22+ P1×Δ12

 

Рисунок 4.7б – Определение суммарной работы

Если как в случае (Б) приложены обе силы одновременно, их суммарная работа будет равна: V=0.5×Р1×(Δ+Δ12)+0.5×Р2×(Δ21+ Δ22)

Учитывая,  что конечное состояние системы одинаково в обоих случаях, приравняем друг к другу правые части полученных выражений:

0.5×P₁×Δ₁₁ + 0.5×P₂×Δ₂₂+P₁×Δ₁₂ = 0.5×Р₁×Δ+0.5×Р₁Δ₁₂+ 0.5×Р₂Δ₂₂

после приведения подобных членов будем иметь:

P1×Δ12 = Р2×Δ21

(4.14)

 

Это и есть ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ РАБОТ − теорема, названная в честь итальянского математика и инженера Э.Бетти (1823−1892):

 

Работа сил первого состояния на перемещениях, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещения первого состояния.

 

В общем виде теорема Бетти может быть записана так:

P_i × Δ_ik = P_k × Δ_ki или V_ik = V_ki.

Разделим обе части этого выражения на произведение: Р_i × Р_к:

Δ_ik / Р_к =Δ_ki / Р_i или δ_ik=δ _ki.

 

Таким образом, перемещение по направлению i-той единичной силы, вызванное k-той единичной силой, равно перемещению k-той единичной силы, вызванному i-той единичной силой.

Эта закономерность носит название теоремы Дж.Максвелла. Она была предложена английским ученым в 1864 г., но стала известна лишь после открытия Э.Бетти теоремы взаимности возможных работ.

4 Лекция

4.4 Общая формула для определения перемещений в плоских стержневых системах

 

В 1864 г. Дж.Максвелл опубликовал статью, в которой предложил энергетический метод определения перемещений (с использованием единичной нагрузки). В более общем виде формула для определения перемещений была получена позже (в 1874 году) О.Мором (1835−1918) и известна под названием формулы Максвелла−Мора. Ниже нам предстоит познакомиться с этой методикой.

Рассмотрим раму, которая деформируется под действием внешней нагрузки, изменений температуры и смещений опор Допустим, что некоторая точка j переместилась в положение j'. Требуется определить Δ_jp проекцию ее полного перемещения j−j на ось j.

Рассмотрим два состояния системы: действительное (заданное), для удобства назовем его "р" состоянием (рисунок 4.8А) и некоторое возможное (иногда его называют единичным) - "j"-ое состояние (рисунок 4.8Б).

A) "p"-е состояние	Б) "j"-е состояние

Рисунок 4.8 – Два состояния системы

 

Согласно теореме взаимности работ: V_pj = V_jp. Поэтому мы имеем право j-е состояние принять за действительное (заданное), а состояние "р" при этом можем считать возможным. Определим работу всех сил j-го состояния на перемещениях "р" состояния. В состоянии "j" действует только одна внешняя сила Р=1, и выполненная ею возможная работа будет равна 1×Δ_jp. Согласно принципу возможных перемещений, для упругой системы, находящейся в равновесии, сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил должна быть равна нулю:

откуда

(4.15)

 

где W − работа изгибающих моментов, поперечных и продольных сил состояния "j" на перемещениях состояния "р" (с учетом температурных воздействий); − работа опорных реакций состояния "j" на перемещениях состояния "p"; ζ− номер направления, а m − количество направлений смещения опор.

Поскольку искомое перемещение вызвано совокупностью различных факторов, то с учетом предыдущего опыта определим работы внутренних сил, вызываемых действием каждого отдельно взятого фактора.

Для определения возможной работы внутренних сил снова рассмотрим бесконечно малый элемент в одном и другом состоянии системы (рисунок 4.9);

А) состояние "j"	Б) состояние "р"

Рисунок 4.9 – Определение возможной работы внутренних сил

 

Перемещения по направлению каждой из внутренних сил вследствие деформации элемента под действием внешних нагрузок известны.

На перемещениях состояния "р" изгибающими моментами выполняется работа − ;поперечными силами ; продольными − .

В этих выражениях , ,  − соответственно изгибающий момент, поперечная и продольная силы, вызванные единичной нагрузкой (P=1), которые умножаются на перемещения в состоянии "р" по направлению этих усилий.

Определим работу внутренних сил на перемещениях, вызванных изменением температуры. Будем считать, что перемещения происходят вследствие равномерного и неравномерного температурного воздействия, причем по высоте сечения стержня они изменяются по линейному закону (рисунок 4.10). Волокна на нижней грани элемента "ds" получат большие удлинения, чем верхние (произойдет поворот граней элемента на некоторый угол "dφ_t"). При данном температурном         

Рисунок 4.10

 

режиме взаимного смещения граней элемента по вертикали не будет и работа поперечных сил будет равна нулю. Изгибающие моменты на соответствующих перемещениях совершают работу − × dj_t, а продольные силы − ×a×t_ср×ds. Ввиду малости угла "dφ_t" можно записать:

tg dφ_t  dφ_t = (a×t_ср×ds − a×t₂×ds) / h = a×t'×ds / h ;

здесь a − коэффициент         линейного расширения материала;

t' = (t₁ − t₂) −разность температур в крайних волокнах сечения;

t_ср = (t₁ + t₂)/2 − средняя температура (температура на середине высоты сечения стержня).

Подставив выражения полной работы внутренних сил, выполняемой ими на перемещениях, вызванных внешней нагрузкой и изменением температуры, в выражение (1), получим общую формулу для определения перемещений:

Здесь i − номер силового участка (разделение на участки производится грузовом и единичном состояниях), n − их количество; l⁽ⁱ⁾ − длина "i"-го силового участка; - выражение для изгибающего на "i"-том силовом участке от единичного воздействия в "j"-том направлении; М_р⁽ⁱ⁾− выражение для изгибающего момента на "i"-том силовом участке от заданной внешней нагрузки; Е⁽ⁱ⁾ − модуль упругости первого рода материала "i"-го силового участка; I⁽ⁱ⁾−осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси перпендикулярной плоскости изгиба "i"-го силового участка; η⁽ⁱ⁾− безразмерный коэффициент поперечного сечения "i"-го участка; − аналогичные выражения для поперечных сил; − выражения для продольных сил; G⁽ⁱ⁾ − модуль упругости второго рода материала "i"-го силового участка; А⁽ⁱ⁾ − площадь поперечного сечения "i"-го силового участка; k − номер силового участка по температурному и единичному воздействиям и т.д.

Формула Максвелла-Мора позволяет находить как линейные, так и угловые перемещения для плоских упругих геометрически неизменяемых стержневых систем, как статически определимых, так и статически неопределимых. Эта формула неприменима в том случае, если деформации системы нельзя рассматривать как бесконечно малые (в сопоставлении с размерами элементов).

Отметим, что при определении линейного перемещения во вспомогательном ("j") состоянии силу Р=1 прикладывается в направлении искомого перемещения (рисунок 4.11 б и в). Если результат получится со знаком минус, то значит, что в действительности точка переместилась в обратную сторону.

При определении взаимного сближения или расхождения двух точек в них прикладываются взаимно обратные по направлению силы Р=1, лежащие на прямой, соединяющей точки (рисунок 4.11 г).

Для определения угла поворота сечения в нем следует приложить сосредоточенный момент М=1 (рисунок 4.11 д).

Если требуется определить взаимный угол поворота двух сечений, в этих сечениях нужно приложить два момента М=1, противоположные по направлению (рисунок 4.11 е).

Рисунок 4.11 – Расчетные схемы при определении перемещений