4.1 Работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации

 

В дополнении к рассмотренным ранее перемещениям − прогибам и углам поворота, возникающим от действия внешних сил, введем понятие возможных перемещений. Возможными будем называть любые ничтожно малые перемещения, допускаемые связями в рассматриваемой системе.

Кроме этого, будем различать действительную и возможную работу. действительной называется работа, совершаемая силой на перемещениях, вызванной этой же силой. Так, сила Р₁ (рисунок 4.1) на перемещении Δ₁₁ совершит действительную работу.

Возможной будем считать работу, совершаемую силой на перемещениях, вызванных другими силами или иными причинами (воздействием температуры, осадкой опор). Сила Р₁ совершает возможную работу на перемещении Δ₁₂.

Рассмотрим последовательность определения действительной работы V_n внешней силы Р_n на перемещении Δ_n. Действительное перемещение, согласно закону Р.Гука (1635 − 1705) прямо пропорционально силе его вызывающей:

Δ_n = К×Р_n, Δ_i = К × Р_i.

Приращение статически приложенной силы dР_i вызовет приращение перемещения dΔ_i (рисунок 4.2). При этом совершается элементарная работа: dV_i = Р_i × dΔ_i = Р_i ×K× dР_i.

 

Рисунок 4.2 – Определение перемещения dΔ_i

 

Полная работа определяется интегрированием:

(4.1)

Если мы имеем дело с системой сил P₁, Р₂, .......Р_n, то полная работа всех внешних сил может быть определена алгебраическим суммированием:

(4.2)

Это равенство носит название теоремы Б.Клайперона (1799−1864- французского физика и математика).

Работа внешних сил в линейно-деформируемых системах зависит только от начального и конечного состояний и не зависит от последовательности загружения. Эта работа полностью (в действительности возможны потери) переходит в потенциальную энергию деформации.

Возможная работа в отличие от действительной совершается уже существующей внешней силой на возможном перемещении, вызванном другой статически прикладываемой силой. Так как, совершающая работу сила не меняется, то величина возможной работы равна Р_n×Δ_nk, где Δ_nk − перемещение в направлении Р_n, вызванное какой-либо силой Р_к иди иной причиной.

Возможная работа может быть и отрицательной, так как возможное перемещение может не совпадать с направлением действующей силы.

Когда линейно упругое тело загружается внешней нагрузкой, то работу (уже внутреннюю) совершают не только внешние силы, но и внутренние. Получим выражения для работы внутренних сил. Для упрощения вывода формул будем рассматривать плоские системы, состоящие из прямых стержней, имея ввиду, что в общем случае пространственной системы следует учитывать не три, а шесть внутренних усилий и соответствующие им деформации.

Из произвольным образом загруженной системы выделим бесконечно малый элемент:

Рисунок 4.3 – Определение выражения работ, вызванных каждым усилием

 

и последовательно определим выражения работ, вызванных каждым внутренним усилием в отдельности. Отметим, что работа внутренних сил всегда отрицательна, так как внутренние силы противодействуют деформации.

а) Работа продольной силы − W_N

Рисунок 4.4 – Определение работы продольной силы

 

Продольная сила N совершает элементарную работу, которую по аналогии с работой внешней силы можно записать в следующем виде:

dWN = − 0.5 × N × ΔN

(4.3)

Перемещение Δ_N может быть определено по формуле: s = Е×e,

ΔN = N × ds / EA

(4.4)

 

где А − площадь поперечного сечения,

Е − модуль упругости первого рода материала.

Таким образом, выражение для элементарной работы продольной силы N может быть записано в виде: dW_N = − 0.5× N × N ×ds/EA

Окончательно, полная работа:

(4.5)

где a − длина силового участка.

Если мы имеем дело с системой, состоящей из  n силовых участков:

(4.6)

 

б) работа поперечных сил – W_Q

Рисунок 4.5 – Определение работы поперечных сил W_Q

 

В сечениях бесконечно малого элемента возникают касательные напряжения τ, равнодействующей которых, как известно, является поперечная сила Q.

 Элементарная работа, выполняемая поперечной силой Q, может быть записана через касательные напряжения τ:

(4.7)

 

                 

Касательные напряжения для данного сечения определяются по формуле Д.И.Журавского (1821 - 1891):

τ = Q× SZ / bIZ

(4.8)

где b − ширина сечения элемента; S_Z и I_Z − соответственно статический момент и осевой момент инерции сечения относительно оси z. Перемещение Δ_Q =τ/G)с учетом закона Р.Гука при сдвиге (γ при малых деформациях может быть записана в виде:

ΔQ =γ× ds = τ× ds /G = Q×SZ×ds/ bG IZ

(4.9)

где    γ − сдвиговая деформация бесконечно малого элемента ds;

G − модуль упругости второго рода материала элемента.

Тогда выражение для элементарной работы может быть переписано:

 

где  − безразмерный коэффициент, зависящий только от поперечного сечения бесконечно малого элемента, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по высоте сечения. Отметим, что для прямоугольного сечения − η= 1.2, а для круглого η = 32/27.

Окончательно для полной работы поперечной силы Q будем иметь (для n − силовых участков):

(4.10)

в) работа изгибающих моментов − W_м

Рисунок 4.6 – Определение работы изгибающих моментов

 

Из курса «Сопротивление материалов» известно, что момент совершает работу на повороте сечения: W_м =−0.5×М×φ.

Аналогично для бесконечно малого элемента можно записать выражение для элементарной работы:

dWм = − 0.5 × М × Δφ

(4.11)

          

Согласно рисунка 4.6, учитывая, что угол бесконечно мал, последний можно выразить через длину бесконечно малого элемента ds:

Δφ = ds / ρ, здесь ρ − радиус кривизны изогнутой оси элемента, который в свою очередь можно определить по формуле известной вам из курса «Сопротивление материалов»: 1/ρ = М / ЕI_Z. Таким образом, выражение для элементарной работы изгибающего момента может быть записано в виде:

dWм = − 0.5 × М2 × ds / ЕIZ

(4.12)

или, переходя к выражению для полной работы изгибающих моментов для системы из n − силовых участков, можем записать:

(4.13)

 

Таким образом, полная работа внутренних усилий для плоских систем получается суммированием полученных ранее выражений:

         Отметим, что эти слагаемые в зависимости от рассматриваемой системы различаются по своему вкладу в величину полной работы внутренних сил. Для изгибаемых систем (рам и балок) наиболее существенным является первое слагаемое, а при расчете шарнирно-стержневых систем (ферм) - третье.

Суммарная работа внутренних сил, определяемая правой частью вышеуказанного выражения, взятая с обратным знаком, носит название потенциальной энергии внутренних сил деформируемого тела. В процессе деформирования деформируемых тел вся работа внешних сил переходит в потенциальную энергию; по мере роста деформаций последняя накапливается в упругом теле, а в процессе разгрузки проявляется в виде работы, совершаемой внутренними силами.