4 Лекция Основные теоремы об упругих системах и определение перемещений в статически определимых системах
– Работа внешних и внутренних сил. Потенциальная энергия деформации
– Принцип возможных перемещений
– О взаимности возможных работ и взаимности возможных перемещений
– Общая формула для определения перемещений в плоских стержневых системах
– Техника определения перемещений
– Методика определения перемещений в статически определимых стержневых системах
Проектируемое сооружение должно быть не только прочным, но и жестким. Это значит, что в процессе эксплуатации перемещения отдельных элементов упругой конструкции должны быть меньше заведомо назначенных величин. Например, согласно СНиП («Строительные нормы и правила») II−23−81* «Стальные конструкции» относительный (по отношению к пролету) прогиб балки крановых путей под краны легкого режима работы (включая ручные краны, тельферы и тали) не должен превосходить 1/400.
Особые ограничения накладываются на прогибы перекрытий, на которых установлены приборы и механизмы высокой чувствительности и точности.
Требования жесткости предъявляются практически всем строительным и другим конструкциям, и в некоторых случаях они являются решающими. Может оказаться, что при достаточной прочности угловые (повороты) и линейные перемещения больше нормативных (регламентированных СНиП). В этом случае приходится увеличивать жесткость, т.е. идти на перерасход материала или искать иную форму элементов, которая обладала бы лучшими жесткостными характеристиками.
При определении перемещений используются те же допущения, что и в расчетах на прочность. Это допущения об идеальной однородности, изотропности и упругости материала (напряжения в сечениях не должны превышать предела пропорциональности), которые приводят к весьма важному положению о существовании линейной зависимости между силами и перемещениями (говорят, что мы имеем дело с линейно деформируемыми телами). Для таких тел справедлив принцип независимости действия сил, согласно которому усилия и деформации, вызванные одновременным действием нескольких сил, равны сумме усилий и деформаций, вызванных действием каждой силы в отдельности. Иными словами, конечный результат не зависит от того, в какой последовательности прикладываются силы − поочередно или одновременно.
Определимся с некоторыми категориями, которыми мы пользуемся. Изменение формы или геометрических размеров сооружения (элемента) под силовым, температурным или другими воздействиями называется деформацией сооружения (элемента сооружения)−ε. При одномерном нагружении (растяжения или сжатия): ε = Δ l /l , где Δ l − приращение длины элемента под каким-либо воздействием, l − первоначальная длина.
Для обозначения перемещений принято использовать два индекса, например Δiк при этом первый индекс i − указывает на местоположения перемещаемой точки (сечения) и на направление ее смещения, второй индекс к − на тот внешний фактор, который является причиной смещения. Если перемещение вызвано совокупностью внешних факторов, то ставится только первый индекс.
Введем понятие перемещения от единичного воздействия δ iк, т.е. величины перемещения в i − направлении от единичной силы Рк = 1; δiк = Δiк/Рк.
Определим перемещение Δi в некоторой балке, загруженной произвольной внешней нагрузкой P1,Р2, .......Рn (рисунок 4.1).
Рисунок 4.1 – Определение перемещений в балке
Для этого рассмотрим последовательное загружение балки отдельно каждой из сил P1, Р2,.......Рn. Согласно принципа независимости сил можем записать: Δi= Δi1 + Δi2 +…+Δin
Что с учетом введенной ранее категории перемещения от единичного воздействия примет вид: Δi=δi1 × P1+δi2 × P2+…+δin × Pn
При определении перемещений нами будет рассматриваться статическое приложение нагрузки, при котором она увеличивается постепенно от нуля до конечного значения. При плавном увеличении нагрузки деформации возрастают медленно, без заметных ускорений, поэтому возникающими при движении масс, силами инерции можно пренебречь и считать, что в любой момент времени внешние силы уравновешиваются внутренними упругими силами.
Наиболее распространенным методом определения перемещений является энергетический метод, который основан на определении потенциальной энергии деформации упругой системы.