Т.М. 18. Количество движения точки. Модуль и направление вектора количества движения.

Количество движения является мерой механического движения, если механическое движение перейдет в механическое. Например, механическое движение бильярдного шара до удара переходит в механическое движение шаров после удара. Для точки количество движения равно произведению . Мерой действия силы в этом случае является импульс силы . Импульс определяет действие силы за промежуток времени . Для материальной точки теорему об изменении количества движения можно использовать в дифференциальной форме или интегральной (конечной) форме . Изменение количества движения материальной точки за какой-то промежуток времени равно импульсу всех сил, приложенных к точке, за то же время.

При решении задач теорема чаще используется в проекциях на координатные оси

С помощью теоремы об изменении количества движения точки можно решать задачи, в которых на точку или тело, движущееся поступательно, действуют силы постоянные или переменные, зависящие от времени, а в число заданных и искомых величин входят время движения и скорости в начале и конце движения. Задачи с применением теоремы решаются в следующей последовательности:

1) выбирают систему координат;

2) изображают все действующие на точку заданные (активные) силы и реакции связей;

3) записывают теорему об изменении количества движения точки в проекциях на выбранные оси координат;

4) определяют искомые величины.

Количество движения материальной точки является величиной векторной, для которой можно определить момент относительно центра или оси:

.

Производная по времени от момента количества движения точки относительно центра или оси равна моменту действующей силы относительно того же центра или оси:

.

Момент количества движения называют еще кинетическим моментом. Кинетический момент точки приложена в точке О, относительно которой он определяется.

Если момент силы, приложенной к точке, относительно какого-либо центра или оси равен нулю, то кинетический момент точки относительно этого центра или оси остается постоянным.

Если , то ;

Если , то .

Т.М. 19. Идеальные связи. Число степеней свободы твердого тела, точки.

Идеальные связи – это свободная работа реакции, которая на бесконечно малых возможных перемещениях равна 0.

Перемещение ограничивается связями.

Число степеней свободы

• для точки – 3

• для тела – 6

Тело, ограничивающее свободу движения данного твердого тела, является по отношению к нему связью.

Т.М. 20. Второй закон динамики. Понятие о дифференциальном уравнении движения.

дифференциальное уравнение движения точки по оси.

дифференциальное уравнение вращения связи.

Т.М. 21. Уравнение Лагранжа II рода.

Обобщенными координатами называется независимые между собой параметры, с помощью которых можно определить положение всех точек механической системы. Число обобщенных координат равно числу степеней свободы S:q1, q2,...,qs.

Положение всех точек кривошипно-ползунного механизма зависит от одного параметра –угла поворота ведущего звена – кривошипа ОА: .

Следовательно, для этого механизма обобщенной координатой является угол . Производная является обобщенной скоростью. Обобщенные координаты могут быть линейными ( ) или угловыми ( ) им будут соответствовать линейные или угловые обобщенные скорости.

Положение груза D зависит от двух обобщенных координат:

- угол поворота вала вокруг неподвижной оси;

- линейная обобщенная координата, зависящая от упругих свойств пружины. Так как обобщенные координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат будут также независимы друг от друга.

При движении системы ее обобщенные координаты изменяются с течением времени. Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах или уравнения Лагранжа 2-го рода имеют следующий вид:

Число уравнений в системе соответствует числу S степеней свободы. Величина в правой части уравнения Лагранжа называется обобщенной силой. Для определения обобщенной силы системе необходимо дать возможное перемещение по соответствующей обобщенной координате, вычислить сумму элементарных работ заданных сил на соответствующих перемещениях и разделить на приращение обобщенных координаты, т.е. .

Если все силы, действующие на систему, являются потенциальными, то обобщенную силу можно вычислить по формуле , где П – потенциальная энергия системы.

Если все обобщенные силы равны нулю, механическая система будет находиться в равновесии.

Уравнения Лагранжа дают единый т достаточный простой метод решения задач динамики. Число уравнений не зависит от числа точек или тел, входящих в систему и определяется числом степеней свободы. В уравнениях Лагранжа учитываются только активные силы, силы инерции и реакции связей в него не входят.

Решение задач с использованием уравнение Лагранжа нужно проводить в такой последовательности:

1. определить число степеней свободы механической системы;

2. выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты по числу степеней свободы системы, оси координат направить таким образом, чтобы при движении системы приращения обобщенных координат были положительными;

3. вычислить кинетическую энергию системы, выразив все переменные величины, входящие в формулу энергии, через обобщенные координаты и обобщенные скорости, т.е. ;

4. определить частные производные ;

5. определить производные , считая, что все переменные, входящие в частную производную , являются функциями времени;

6. вычислить обобщенные силы, для чего

изобразить все активные силы и реакции неидеальных связей, действующих на систему;

дать независимые возможные перемещения по каждой обобщенной координате;

вычислить сумму работ всех активных сил и реакций неидеальных связей на каждом возможном перемещении , при этом все остальные возможные перемещения по остальным обобщенным координатам будут равны нулю;

тогда обобщенная сила ;

7. подставить все найденные величины в уравнение Лагранжа;

8. решить уравнение Лагранжа в соответствии с условиями задачи.