5. Особенности формирования математических пон-й у младших школьников. Формир-е научных пон-й в младшем школьном возрас­те. Методы формирования сознания личности в целостном педагогическом процессе.

Вообще любые математические объекты — это рез-т выде­ления из предметов и явлений окружающего мира количествен­ных и пространственных св-в и отношений и абстрагирования их от всех других св-в. Следовательно, математические объекты реально не сущ-ет, нет в окружающем нас мире геом-их фигур, чисел и т. д. Все они созданы человеческим умом в процессе исторического развития общества и сущ-ет лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, кот-е обра­зуют матем. язык.

Вообще абстрактность матем-ки позволяет применять ее в самых разных областях знания, поскольку она представляет со­бой могущественный инструмент познания природы и создания тех­ники.

Объем и содержание пон-я

Термин «пон-е» соединяет в себе целый класс объектов или отношений произвольной природы обладающих определенным характеристическим св-вом или целым набором таких св-в, пон-е будет обозначать малыми буквами лат. алфавита. Всякое поятие хар-ется объемом и содержанием.

Объем пон-я –будем называть мн-во объектов. или отношений, охватываемым данным пон-ем. а (пон-е) N – пон-е одиночное нат. числа. Объемом этого пон-я явл. мн-во {1,2,3,4,5,6…}

содержания пон-я. - будем называть мн-во всех св-в объекта, присущих любому элементу из объема данного пон-я. Пр. Биссектриса угла – содержанием этого пон-я явл. быть углом. делить угол пополам, исходить из вершины угла. Существительное- содержание данного пон-я явл. св-ва: часть речи, отвечать на кто? что? и т.п.

В зависимости от отношений между объемами пон-й, определяются отношения между самими пон-ями. Пон-е а и б называются несовместимыми Нели несовместными если объемы этих пон-й не пересекаются. Пр. а-тропеция, в- реугольник (у них ничего общего). Пон-я а и б называются совместимыми если объемы этих пон-й пересекаются. Пр. а-параллелограмм. б-пон-е треугольников.

Если объем пон-я а является собственным подмн-вом пон-я б, то в этом случаи говорят. 1. Пон-е а является видовым, но отношению к пон-ю в. А пон-е в родовым по отношению к а. 2. Пон-е а уже чем в, а пон-е в шире чем а. 3. Пон-е а есть частный случай пон-я в, а. Пон-е б являя. обобщением а. а: трапеция. б: четырехугольник. Трапеция это видовое пон-е, а четырехугольник родовое пон-е, по отнош. к трапеции. Пон-я а и в называют существенными или равносильными или объемы этих пон-й равны. Пр. а-ромб в-ромб с прямым углом.

Пон-я а и б называют противоположными если объемы этих пон-й явл. дополнениями друг друга до некоторого мн-ва.

Рассмотрим виды определений пон-й. Определение пон-й -

Определение пон-й

В содержание пон-я о каком-либо математическом объекте входит много различных сущ-ых св-в этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного пон-я (т. е. распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некот-х сущ-ых св-в. Указание этих сущ-ых св-в объекта, кот-е достаточны для распозна­ния объекта, называется определением пон-я об этом объекте.

Вообще определение — это логическая операция, раскрываю­щая содержание пон-я.

Способы определения пон-я различны. Прежде всего разли­чают явные и неявные определения.

Вербальные (словесные) и невербальные (определения).

Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух пон-й. Например, прямоугольный треугольник — это тре­угольник с прямым углом.

Неявные определения не имеют формы совпадения двух пон-й. Примерами таких определений являются так называемые контекстуальные и остенсивные определения.

В контекстуальных определениях содержание нового пон-я раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого пон-я. Примером контекстуального определения может. быть определе­ние урав-я и его решения, приведенное в пробном учебнике для II класса¹. Здесь после записи 3 + х = 9 и перечня чисел 2, 3, б и 7 идет текст: «х — неизвестное число, которое надо найти. Какое из этих чисел надо поставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6». Из этого текста следует, что урав-е — это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а

решить урав-е — это значит найти такое значение х_у при подстановке которого в урав-е получается верное равенство. Остенсивные определения используются для введения терми­нов путем демонстрации объектов, кот-е этими терминами обо­значают. Поэтому остенсивные определения называют еще опре­делениями путем показа. Например, таким способом определя­ются в начальной школе пон-я равенства и неравенства.

В явных определениях, как уже было отмечено, отождеств­ляются два пон-я. Одно из них называют определяемым пон-ем, другое — определяющим. Через определяющее раскрывает­ся содержание определяемого пон-я.

Определение пон-я по такой схеме называют определением через род и видовое отличие.

Встречаются в математике и определения, построенные по-другому. Рассмотрим, например, такое определение треугольника: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех то­чек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков». В этом определении указано родовое пон-е по отношению к треугольнику — фигура, а затем дан способ построе­ния такой фигуры, которая является треугольником: взять триточки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такие определения называют генетическими¹.

Оксиомотический вид определения. Если какое-то пон-е вводится с помощью списка аксиом описывающиего св-ва этого пон-я, то такое определение называется аксиомотическими видом определением.

Рекурсивные определения. В этих определениях указываются некот-е основные элементы из объема этого пон-я и даются правила, позволяющие получать новые элементы из уже имеющихся.

В начальном курсе матем-ки имеется очень небольшое число пон-й, которым дают определения через род и видовое отличие. Так, например, определяют умножение: «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением». Но чаще при введении пон-й в начальной школе используют остенсивные и контексту­альные определения. Иногда встречаются определения, сочетаю­щие контекст и показ. Примером такого определения является определение прямо-ика, приведенное в учебнике матем-ки для II класса. Здесь нарисованы (показаны) четырехугольники и приведен текст: «У этих четырехугольников все углы прямые». Под рисунком написано: «Это прямо-ики».

Требования к определению пон-й

Прежде всего определяемое и определяющее пон-я должны быть соразмерны. Это значит, что совокупности предметов, охва­тываемые ими, должны совпадать. Соразмерны, например, пон-я «прямо-ик» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Второе правило определения запрещает порочный круг: нельзя определять пон-е через само себя или определять его через другое пон-е, которое, в свою очередь, определяется через него.

в определении должны быть указаны все св-ва, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого пон-я.