18. Изоморфные графы. Примеры.

ИЗОМОРФИЗМ ГРАФОВ.

Графы, которые отличаются только нумерацией вершин, называются изоморфными.

У изоморфных графов матрицы совпадают при применении к ним элементарных алгебраических операций.

На графах изоморфизм возможно представить как функцию: пусть G₁(V₁ E₁ ) и G₂(V₂ E₂) изоморфные графы, тогда существует функция Н-биекция, сохраняющая смежность

H: V₁V₂ и e₁=(v_i v_j)E₁ e₂=(h(v_i ) h(v_j))E₂

e₂=(v_i v_j)E₂ e₁=(h^-1 (v_i ) h^-1(v_j))E₁

Теорема: изоморфизм графов есть отношение эквивалентности.

Док-во: 1. рефлексивность- h тождественная функция

2. симметричность- т.к. h: V₁V₂-биекция, то h^-1 :V₂V₁ тоже биекция

3. транзитивность- h: G₁G₂ & f: G₂G₃hf: G₁G₃

Числовая характеристика, сохраняющаяся при изоморфизме, называется инвариат.

У изоморфных графов все инварианты совпадают, но это не является признаком изоморфизма графов, т.е. при совпадении всех инвариантов мы не можем утверждать об изоморфности данных графов.

19. Способы задания графов. Матрицы и диаграмма графа. Примеры.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ГРАФОВ.

1. Поскольку граф – это множество, то его можно задать перечислением множеств, при условии конечности графа.

G=(V,E) | V={v_1, v_2, …, v_n}, E={e_1, e_2,…, e_m}

2. похожий способ – это список ребер.

V E

v₁v₂ e₁

v₁v₃ e₂

v₃v₃ e₃

v₂v₆ e₄

v₃v₂ e₅

3. Для нас нагляднее всего графическое задание или диаграмма.

4. Для задания графа в компьютере применяются матрица смежности

данная матрица симметрична относительно главной диагонали, а главная диагональ состоит из нулей, за исключением петель.

5. матрица инцидентности

в случае неориентированного графа

в случае ориентированного графа

20. Части графа: подграф, суграф, дополнительный граф. Операции с частями графа. Примеры.

Граф G’=(V’,E’) – часть графа G=(V,E), если V’ V , E’ E.

Если V’ V , E’ E, то это подграф. В нем нет голых вершин.

Если V’= V , E’ E, то это суграф.

Граф G’, построенный на множестве вершин V и на множестве E’, дополняющем граф G до полного, называется дополнительным.

Операции с графами и их частями:

1. сумма графов G₁+G₂= G₁G₂=G, где V=V₁ V₂  E=E₁ E₂;

2. пересечение графов G₁G₂=G, где V=V₁ V₂  E=E₁ E₂;

3. добавление вершины G₁+v=G, где |V|=|V₁| +1  E=E₁;

4. удаление вершины G₁-v=G, где |V|=|V₁| -1  E=E₁;

5. добавление ребра G₁+e=G, где V=V₁  |E|=|E₁|+1;

6. удаление ребра G₁-e=G, где V=V₁  |E|=|E₁|-1.

Паросочетание – это множество ребер, в котором никакие два не являются смежными.

Паросочетание совершенно, если оно полностью покрывает множество вершин графа.

21. Маршрут, цепь, цикл. Отношение связности в графе. Компоненты связности. Примеры.

Связность графа.

Рассмотрим неориентированный граф G=(V,E).

Последовательность v₁ e₁ v₂ e₂ …. v_k-1 e_k-1 v_k – маршрут, при условии, что соседние элементы последовательно инцидентны.

В маршруте каждый элемент может встречаться несколько раз.

Вершины v₁ – начало маршрута, v_k – конец маршрута.

Можно построить маршрут только из ребер или только из вершин.

Если начало и конец маршрута совпадают, то маршрут замкнутый, иначе – открытый.

Количество ребер, составляющих маршрут, характеризует длину маршрута.

Если в маршруте каждое ребро встречается только однажды, то это цепь (в орграфе - путь).

Если в цепи каждая вершина встречается однажды, то это простая цепь.

Утв: Всякий маршрут графа содержит простую цепь.

Д-во: применяя операцию удаления ребра уберем из маршрута повторные вхождения ребер. Получим цепь. Вместе с этим у нас удалятся все повторные вхождения вершин, следовательно, цепь станет простой.

Замкнутая цепь называется циклом (в орграфе - контур).

Граф без циклов называется ациклическим.

Опр: Две вершины графа связны, если между ними существует маршрут.

Граф, в котором все вершины попарно связны, называется связным.

Связность есть отношение эквивалентности, а классы эквивалентности по отношению связности называются компонентами связности графа.

Количество компонент связности обозначается k. У связного графа k=1.

В орграфе понятие связности двусмысленно:

Пустой граф считается вполне несвязным.

• две вершины сильно связны, если существует путь из первой вершины во вторую и обратно;

• две вершины односторонне связны, если существует путь из одной вершины в другую.

Еще несколько определений:

Вершина графа называется точкой сочленения (шарнир), если ее удаление увеличивает количество компонент связности k.

Связность в орграфе.

Рассмотрим орграф G(V,E).

Вершина, в которую не входит ни одно ребро, называется источник.

Вершина, из которой не исходит ни одно ребро, называется сток.

Орграф с одним источником и одним стоком называется сетью.

Опр: Пусть G(V,E)- сеть, в которой v₀- источник, v_n – сток. Дугам в соответствие поставим множество неотрицательных вещественных чисел и определим функцию

c: ER₊

числа из множества образов (c(u,v)) называются пропускной способностью ребра, в соответствие которому они поставлены.

Рассмотрим функцию f: ER. Пусть div(f,v)- число, равное разности сумм исходящих и входящих дуг. Такая функция называется дивергенция в вершине v.

1. Функция f называется потоком, если f(u,v)<=с(u,v).

2. Дивергенция любой вершины, кроме источника и стока равна нулю.

3. Дивергенция источника называется величиной потока.