31. Булева алгебра. Переключательные функции (пф). Примеры. Количество наборов и пф от n переменных. Фиктивные переменные.

Рассмотрим множество В={0,1}, где 0 и 1 не несут арифметической нагрузки, т. е. 0 -"нет сигнала"("ложь"), 1- "есть сигнал"("истина"). Такое множество называется булевым.

Алгебра, заданная на булевом носителе, называется булевой алгеброй или алгеброй логики.

Сигнатуру алгебры составляют переключательные функции - функции алгебры логики (логические функции).

Опр: Переключательная функция f(x₁,x₂,…,x_n)- это функция, принимающая значения из множества В, аргументы которой тоже принимают значения 0 или 1.

f: Bⁿ B - логическая функция.

Пример: голосование 3 человек.

I	0	0	0	1	0	1	1	1
II	0	0	1	0	1	0	1	1
III	0	1	0	0	1	1	0	1
итог	0	0	0	0	1	1	1	1
	Нулевое множество (состоит из нулевых наборов)				Единичное множество (состоит из единичных наборов)

Количество комбинаций значений, которые могут принимать переменные, равно 2ⁿ, значит, количество различных функций от n переменных равно .

От одной переменной: f(x) количество значений - 2¹=2;

Количество функций - 2²=4.

x f₁ f₂ f₃ f₄ f₁ =0 и f₄=1 – константы;

0 0 0 1 1 f₂ =х – тождественная;

1 0 1 0 1 f₃ =х – отрицание;

Опр: Переменная x_i в функции f(x₁,… x_i …x_n) называется фиктивной (несущественной), если от нее не зависит значение функции:

f(x₁,… x_i-1,1,x_i+1 …x_n)= f(x₁,… x_i-1,0,x_i+1 …x_n).

В этом случае значение функция n переменных зависит от n-1 переменной, т.е. фиктивную переменную можно удалить из задания функции.

Остальные переменные называются существенными.

С использованием добавления фиктивных переменных можно все функции рассматривать как функции от одного количества переменных.

32. Способы задания пф. Таблица истинности. Формулы и суперпозиции. Равносильные формулы. Семантические деревья.

Способы задания функций:

1. Таблица истинности

Список переменных | Значения функции

Используемые функции от двух переменных:

х ₁ х₂ х₁ х₂ х₁ х₂ х₁х₂ х₁ х₂ х₁ х₂ х₁х₂ х₁х₂ х₁ х₂

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

2. Формула

Функции описываются с использованием операторов:

х₁ х₂ - эквивалентность (тождественность)

х₁ х₂ - дизъюнкция (или)

х₁х₂ - конъюнкция (и)

х₁ х₂ - импликация (следствие)

х₁х₂ - стрелка Пирса (не или)

х₁х₂- штрих Шеффера (не и)

х₁ х₂ - неравнозначность (сложение по модулю два, xor).

Основной задачей теории булевых функций является разработка методов построения сложных функций из более простых композицией. Описание формулой композиции функций называется суперпозицией.

Переменные в формуле имеют глубину 0, сама формула имеет высшую глубину. Разбиение формулы по глубинам облегчает вычисление значения функции.

Пример: F=(у or x) xor (x and (x xor y))

После построения таблицы истинности имеем F=y, при этом х- фиктивная переменная.

Две формулы эквивалентны (равносильны), если они описывают одну и ту же функцию, при упрощении их результаты совпадают, а значения функций в таблице истинности при одних и тех же наборах равны. Если значение этой функции единично, то формула тождественно истинна, если значение функции нулевое, то формула тождественно ложна.

Семантические деревья

Семантическое дерево — это двоичное дерево, корень которого помечен двоичной функцией от m переменных, из каждого узла идут по два ребра, соответствующих двум значениям очередной переменной, а 2^m листьев помечены соответствующими значениями функции. Удобство этого представления в том, что для многих функций значения у всех листьев некоторых поддеревьев совпадают и построение некоторых ветвей быстро заканчивается, не доходя до самого нижнего уровня.