40. Функционально полные системы (фпс) пф. Замыкание фпс пф. Примеры базисов.

Опр1: Система логических функций  называется функционально полной (ФПС) (набор, базис), если любая логическая функция может быть выражена формулой над .

Таким образом, можно говорить, что {И, ИЛИ, НЕ} – Булев базис

Если система  выражает функции  - ФПС, то  тоже ФПС и  сводится к . Данное утверждение является частным случаем замыкания ФПС.

Опр2: Замыкание ФПС – это множество ПФ, которые можно получить суперпозицией функций из . Обозначение: [].

Ясно, что [] – есть множество всех ПФ, где ={И, ИЛИ, НЕ}.

Теорема: , - некоторые множества ПФ, тогда

1. []

2. [[]]=[]

3. , следовательно [][]

4. []=множество логических функций

5. - базис и [], значит  - базис.

Док-во: 1)-4) исходят из определения базиса. 5) [][][[]](см 3.), [][] (см 1.), т.к.  - базис, то []=множество логических функций(см 4.) []=множество логических функций.

Система  - ФПС в слабом смысле, если любая логическая функция представима в виде суперпозиции функций из  и констант 0 и 1.

Примеры базисов ПФ:

{И, ИЛИ, НЕ} базис Буля

{И, НЕ} конъюнктивный базис ((НЕа) ИЛИ(НЕв)=НЕ(а И в)

{ИЛИ, НЕ} дизъюнктивный базис ((НЕа) И (НЕв)=НЕ(а ИЛИ в)

{И, +, 1} базис Жегалкина (НЕ а=а+1)

{|} базис Шиффера (a|в=НЕ(ав); НЕа =a|в; ав=НЕ(a|в)=(а|в)|(в|а))

{} базис Пирса (aв=НЕ(аИЛИв); НЕа =aв; аИЛИв=НЕ(aв)=(ав)  (в а))

Отметим, что конъюнктивный базис является минимальным логическим базисом.

Рассмотрим базис Жегалкина. Основные тождества алгебры Ж:

А+в=в+а

А(в+с)=ав+ас

А+а=0

А+1=НЕа

А+0=а

А ИЛИ в=НЕ(НЕа И НЕв)=(а+1)(в+1)+1=а+в+ав.

Теорема: любая ПФ представима полиномом Жегалкина.

Док-во: т.к алгебра Ж имеет базис, а все функции базиса Буля представимы через этот базис и одну и ту же функцию описывают равносильные формулы, то между алгебрами Буля и Жегалкина устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

41. Замкнутые классы пф. Классификация замкнутых классов.

Система логических функций называется замкнутым классом, если любая суперпозиция функций из  снова лежит в , т.е =[].

Пример: А={НЕ, ПРЯМОТА} – замкнутый класс, т.к. НЕ(ПРЯМОТА)=НЕ, НЕ(НЕ)=ПРЯМОТА

Примеры замкнутых классов:

1. функции, сохраняющие константы:

₀={f | f(0,0,…,0)=0} ПР: дизъюнкция

₁={f | f(1,1,…,1)=1}; ПР: конъюнкция

2. с амодвойственные функции: *={f | f(x₁…x_n)= f(x₁…x_n)};

3. монотонные функции: _= {f |  f()f()}, где =(a₁…a_n), =(b₁…b_n) , = {i a_ib_i};

4. линейные функции: _л={f | f=_ix_i _i},описанные линейным полиномом Жегалкина.

Как же определить, является ли система ПФ базисом?

Теоремы о функциональной полноте

Теорема 1.  - ФПС в слабом смысле, если она содержит хотя бы одну немонотонную или нелинейную функцию.

42. Теорема Поста о функциональной полноте систем пф.

Теорема 2 (Теорема Поста).  - ФПС тогда и только тогда, когда она содержит:

1. нелинейную функцию,

2. немонотонную функцию,

3. несамодвойственную функцию,

4. функцию, не сохраняющую констант.

Док-во: необходимость. От противного: пусть есть хотя бы одна из перечисленных функций, тогда их замыкания совпадают с самими базисами, т.е. через этот базис невозможно выразить остальные функции, т.е. допущение неверно.

Достаточность.