27. Гамильтоновы цепи и циклы. Гамильтоновы графы. Примеры.

В любом графе число вершин нечетной степени четно.

Если в простом цикле каждая вершина графа встречается ровно один раз, то цикл гамильтонов. Граф, содержащий гамильтонов цикл, называется гамильтоновым графом.

В гамильтоновом цикле не обязательно все ребра графа.

Если открытая цепь проходит через все вершины графа ровно один раз, то цепь гамильтонова.

Обыкновенный граф можно превратить в гамильтонов операцией добавления вершин.

Если в графе степени всех вершин >=|V|/2, то граф гамильтонов.

Если в графе есть гамильтонова цепь из х и у и ху – ребро графа, то суграф без ребра ху – гамильтонов.

Примеры: 1) задача о коммивояжере (как частный случай задачи о минимальном соединении). Необходимо найти путь минимальной стоимости для коммивояжера по обходу всех городов и возвращении домой.

2) задача о минимальном соединении. Найти максимальный остов графа с минимальным весом ребер.

28. Раскраски графа. Хроматические характеристики: хроматическое число, хроматический индекс, тотальный минимум. Примеры.

Раскраски являются инвариантами графа, т.е. у изоморфных графов они равны. Для нахождения их значений применяются специальные алгоритмы для компьютера, что не входит в рамки нашей дисциплины.

Раскраска графа – это разбиение элементов графа на множества, каждое из которых имеет одну и ту же цветовую нагрузку.

Множество объектов, окрашенных в один цвет, называется одноцветным классом. Одноцветные классы образуют независимые множества.

Правильная раскраска вершин в æ цветов - это разбиение V=V₁ V₂…V_æ так, что = но каждое из V_i не пусто. В этом случае никакие две смежные вершины не раскрашены в один цвет.

Наименьшее из æ при условии правильности раскраски называется хроматическим числом æ(G).

ПРИМЕР: 1). составление расписания – один преподаватель не может быть одновременно на двух лекциях. В построенном графе смежными будут предметы, которые не могут читаться одновременно.

2). æ= 1 у пустого графа

3). æ= n у полного графа

4). æ= 2 у двудольного графа (бихроматичность)

Правильная раскраска ребер в  цветов - это разбиение множества ребер Е=Е₁ Е₂…. Е_, где = и каждое Е_i образует паросочетание в G.

Наименьшее из  при условии правильности раскраски называется хроматическим индексом (G).

Для хроматического индекса существуют верхняя и нижняя оценки:

.

Раскраска, при которой окрашиваются и вершины, и ребра, а правильность означает принадлежность двух инцидентных элементов различным одноцветным классам, называется тотальной раскраской в  цветов. Наименьшее число цветов – тотальный минимум.

Раскраска называется свободной, если не все цвета из множества цветов используются. Две такие раскраски различны, если в них используется хотя бы один различный цвет.

Пример: различные раскраски

Г раф называется критическим, если и для любого е из множества Е. Правильная раскраска такого графа в -1 цветов называется напряженной, если любое одно ребро остается не раскрашенным.