11. Отношение порядка. Примеры.

ОТНОШЕНИЕ ПОРЯДКА.

Рефлексивное и транзитивное отношение называется отношением порядка.

Отношение порядка позволяет сравнивать между собой различные элементы одного множества.

Рефлексивное отношение порядка называется нестрогим порядком.

Антирефлексивное отношение порядка называется строгим порядком.

Полное отношение порядка называется линейным порядком.

Не являющееся полным отношение порядка называется частичным порядком.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. a<b, a>b, a≤b, a≥b.

Множество, на котором задано отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Множество, на котором задано отношение полного порядка, называется вполне (полностью) упорядоченным.

Элемент а из множества А с заданным отношением порядка называется минимальным, если в множестве А нет элементов, меньших а по заданному отношению.

(Not )bA| b<a&b≠a.

Вполне упорядоченное конечное множество содержит единственный минимальный элемент, а произвольное упорядоченное конечное множество может содержать их несколько.

ПРИМЕРЫ. 1) Иерархия на предприятии. – строгий частичный порядок.

2) алфавит - строгий полный порядок.

3) список слов, расположенный по алфавиту - лексиграфический порядок.

Следует заметить, что лексиграфический и числовой порядок различны:

А={2, 4, 69, 12, 1, 3, 45, 6}

Числовой порядок – 1, 2, 3, 4, 6, 12, 45, 69

Лексиграфический порядок – 1, 12, 2, 3, 4, 45, 6, 69.

12. Две теоремы о матрицах отношений.

ТЕОРЕМА 1. Матрица композиции двух отношений равна произведению матриц этих отношений.

R₁R₂

R₁

R₂

= *

Доказательство. (a,b)  R₁R₂  cA | a R₁c & cR₂b R₁[a,c]=1 & R₂[c,b]=1 (R₁[a,c] & R₂[c,b] ) =1 R₁R₂[a,b]=1.

(a,b)  R₁R₂  notcA | a R₁c & cR₂bcA not(a R₁c & cR₂b)  R₁[a,c]=0 or R₂[c,b]=0  (R₁[a,c] & R₂[c,b] ) =0 R₁R₂[a,b]=0.

В итоге имеем доказанное условие теоремы.

С

R^k

R

ледствие. = ^k.

ТЕОРЕМА 2. Элементы матрицы объединения отношений совпадают с элементами одной из матриц этих отношений.

R₁R₂

R₁

R₂

=  ,

где R₁R₂[i,j]= R₁[i,j] R₂[i,j].

Доказательство. (a,b)  R₁R₂  a R₁b  aR₂b R₁[a,b]=1  R₂[a,b]=1 (R₁[a,b]  R₂[a,b] ) =1(R₁  R₂ )[a,b]=1.

(a,b)  R₁R₂  not(a R₁b) & not(aR₂b)  R₁[a,b]=0 or R₂[a,b]=0  (R₁[a,b]  R₂[a,b])

=0 (R₁ R₂ )[a,b]=0.

13. Алгебра. Свойства алгебраических операций.

Функция φ: AⁿA называется n-арной операцией на множестве А. n- это арность операции.

Множество А вместе с заданными на нем операциями Σ={ φ₁ φ₂… φ_n}, где φ_i: АⁿⁱА, называется алгебраической структурой (универсальной алгеброй, просто алгеброй).

А –основа, основание, несущее множество, носитель;

Вектор арностей (n₁ n₂… n_m) – тип алгебры;

Σ={ φ₁ φ₂… φ_n} – сигнатура.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: <А, Σ > или <А, φ₁ φ₂… φ_n >

Сигнатура обязательно конечна, а носитель может быть и бесконечным, но не пустым.

В качества основы может быть семейство, тогда алгебра будет многоосновной.

Если в качестве операции в алгебре присутствует хотя бы одно отношение, тогда алгебра называется моделью.

Подмножество А' замкнуто относительно операции φ, если результат применения этой операции на элементах А' лежит в А'.

х₁,…,х_nА' φ(х₁,…,х_n) А'. если множество замкнуто относительно всех операций сигнатуры, то оно называется подалгеброй алгебры <А, Σ >.

ПРИМЕР. <R, +,*>- алгебра; <Q,+,*>- её подалгебра.

СВОЙСТВА БИНАРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.

Пусть  и  - операции на множестве А, являющемся носителем алгебры <A, ,>, тогда a,b,cA справедливы свойства:

1. ассоциативность (ab)c= a(b c)

2. коммутативность ab= bа

3. дистрибутивность слева a(bc) =(a b)  (ac)

4. дистрибутивность справа (ab) c= (ac)  (bc)

5. поглощение (ab) а=а

6. идемпотентность aа=а.

Следует заметить, что не для всех операций эти свойства выполняются.

ПРИМЕР. +: ассоциативно, коммутативно, не дистрибутивно относительно умножения, не идемпотентно;

*: ассоциативно, коммутативно, дистрибутивно относительно сложения, не идемпотентно;

- идемпотентно и поглощаемо относительно объединения