33. Пф от одной и двух переменных. Сигнатура булевой алгебры. Выражение функций от двух переменных через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

Сигнатуру алгебры составляют переключательные функции - функции алгебры логики (логические функции).

Опр: Переключательная функция f(x₁,x₂,…,x_n)- это функция, принимающая значения из множества В, аргументы которой тоже принимают значения 0 или 1.

f: Bⁿ B - логическая функция.

Пример: голосование 3 человек.

I	0	0	0	1	0	1	1	1
II	0	0	1	0	1	0	1	1
III	0	1	0	0	1	1	0	1
итог	0	0	0	0	1	1	1	1
	Нулевое множество (состоит из нулевых наборов)				Единичное множество (состоит из единичных наборов)

Количество комбинаций значений, которые могут принимать переменные, равно 2ⁿ, значит, количество различных функций от n переменных равно .

От одной переменной: f(x) количество значений - 2¹=2;

Количество функций - 2²=4.

x f₁ f₂ f₃ f₄ f₁ =0 и f₄=1 – константы;

0 0 0 1 1 f₂ =х – тождественная;

1 0 1 0 1 f₃ =х – отрицание;

Список переменных | Значения функции

Используемые функции от двух переменных:

х ₁ х₂ х₁ х₂ х₁ х₂ х₁х₂ х₁ х₂ х₁ х₂ х₁х₂ х₁х₂ х₁ х₂

0 0 1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 0 1 0 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

Приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, остальные функции.

х₁ х₂= not (х₁)or х₂

х₁х₂ = not (х₁ or х₂)

х₁х₂= not (х₁х₂)= not (х₁ and х₂)

х₁ х₂ =(not х₁ and х₂) or ( х₁and not х₂)

х₁ х₂ = not(х₁ х₂) =(not х₁ or х₂) and ( х₁or not х₂)

х₁ 1 =not х_1.

Таким образом, любую переключательную функцию можно задать булевой формулой: с применением переменных, их отрицаний и операций  и , т.е <,, not>-сигнатура булевой алгебры.

34. Свойства пф.

Основные свойства булевых функций:

1. идемпотентность: хх=х, хх=х,

2. коммутативность: ху=ух, ху=ух,

3. ассоциативность: х(yz)= (хy)z, х(yz)= (хy)z,

4. поглощение: (xy)x=x, (xy)x=x,

5. дистрибутивность: х(yz)= (хy) (хz), х(yz)= (хy) (хz),

6. д войное отрицание: x=x,

7. з аконы де Моргана: ху= хy, ху= хy.

8. с клеивание: xyxy=x, (xy)(xy)=x.

9. действия с константами: x0=x x0=0

x1=1 x1=x

x x=1 xx=0.

Приоритет: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, остальные функции.

Поскольку свойства определены только для И, ИЛИ, НЕ, то запишем некоторые подстановки (равносильные формулы):

х₁ х₂= not (х₁)or х₂

х₁х₂ = not (х₁ or х₂)

х₁х₂= not (х₁х₂)= not (х₁ and х₂)

х₁ х₂ =(not х₁ and х₂) or ( х₁and not х₂)

х₁ х₂ = not(х₁ х₂) =(not х₁ or х₂) and ( х₁or not х₂)

х₁ 1 =not х_1.

Таким образом, любую переключательную функцию можно задать булевой формулой: с применением переменных, их отрицаний и операций  и , т.е <,, not>-сигнатура булевой алгебры.