16. Способы задания функций.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ.

1. таблицы (конечные списки)

2. формула (процедура последовательного выполнения каждой функции, входящей в суперпозицию)

3. описание (без способа вычисления) (sgn(x), abs(x)).

4. графически

17. Основные понятия теории графов. Классификация вершин и дуг графа. Отношения связности и инцидентности в графе. Виды графов: полный, безреберный, орграф, мультиграф, двудольный граф.

Графом называется совокупность двух множеств: множества точек V и множество линий Е - подмножество VxV. Ясно, что Е={(v_i,v_j)| v_i,v_j V}.

Множество V- множество вершин графа, Е – множество ребер.

ОБОЗНАЧЕНИЕ: G=(V,E).

Если все пары из множества Е упорядоченны, т.е. каждое ребро имеет начало и конец, ребра ориентированы и называются дугами, а граф – орграф (ориентированный граф).

Если в графе есть и ориентированные и неориентированные ребра, то граф частично ориентированный или общего вида.

Если E=VxV, т.е. каждые две вершины графа попарно соединены ребром, то граф называется полным.

Если |E|=, т.е. в графе нет ребер, то граф безреберный (пустой, груда).

Если множество V конечно, то граф конечный, а если V бесконечно, то граф бесконечный. Множество V пустым быть не может.

Между элементами множеств V и Е можно определить отношение инцидентности: если ребро соединяет две вершины, то оно инцидентно этим вершинам, а вершины инцидентны этому ребру.

Внутри множеств V и Е существует отношение смежности:

Две вершины смежны, если они инцидентны одному и тому же ребру. Два ребра смежны, если они инцидентны одной и той же вершине.

Вершина, инцидентная только одному ребру, называется висячей.

Ребро, дважды инцидентное только одной вершине – петля.

Вершина, имеющая только петли называется изолированной, а не имеющая инцидентных ребер – голая.

Два ребра, инцидентные двум вершинам, называются кратными.

Каждому неориентированному графу можно поставить в соответствие орграф с кратными противоположно направленными ребрами. Такое соответствие называется каноническим.

Если в графе есть кратные ребра, то он называется мультиграфом.

Паросочетание – это множество ребер, в котором никакие два не являются смежными.

Паросочетание совершенно, если оно полностью покрывает множество вершин графа.

Разбиение множества V на два подмножества определяет двудольный граф при условии, что две вершины, инцидентные одному ребру, лежат в разных подмножествах.

Паросочетания.

Паросочетанием обыкновенного графа называется подмножество несмежных ребер этого графа. Одной из важных задач является поиск наибольшего паросочетания (по количеству ребер). Для этого применяется метод чередующихся цепей. В таком случае в графе выбирается чередующаяся цепь из толстых и тонких ребер. Если ее первое и последнее ребра тонкие, то это увеличитель.

Паросочетание, покрывающее все вершины, называется совершенным.

Теорема Холла: Пусть V=(V₁ V₂ E) – двудольный граф. Совершенное паросочетание из V₁ в V₂ существует тогда и только тогда, когда мощность любого подмножества множества V₁ не больше множества всех вершин из V₂, смежных с вершинами из А.

Доказательство: рассмотрим множество В - вершин, смежных с вершинами из А: у каждой вершины минимум 1 смежная вершина, значит |А|<=|B|, ч. т. д.