21. Прямая на плоскости. Общее уравнение.

Любой вектор перпендикулярный данной прямой называется её нормальным вектором.

Любой вектор лежащий на прямой или параллельный ей называется направляющим вектором.

Общее уравнение :

┴ M₀M ( , )=0 (1)-векторное уравнение прямой

a(x-x₀)+b(y-y₀)=0 (2)- уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярная данному вектору.

Ax + By + C=0 (3)- общее уравнение прямой.

     Вектор   = (А; В) - нормальный вектор прямой перпендикулярный данной прямой.

     Частные случаи:

1. By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2. Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3. Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4. y = 0 - ось Ox;

5. x = 0 - ось Oy.

22. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

Пусть даны М₀(х₀,у₀), (m,n)

(x-x₀; y-y₀)

‖

= – каноническое уравнение прямой, где (m,n)

координаты направляющего вектора

= = t

<=> –параметрическое уравнение прямой.

23. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Угловым коэффициентом прямой называется tg угла наклона, которая образует данная прямая с положительным направлением оси ОХ.

Пусть даны k и M(0,b).

tg =

k=tg

-tg =

k=

y-b=k*x

y=k*x+b (1) – общее уравнение прямой с угловым коэффициентом,

полученное уравнение связываем с общим уравнением прямой ax+by+c=0,

Получаем, y = - -

k= -

Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом: y-y₀=k(x-x₀)

Угол между прямыми линиями y=k₁*x+b₁  и y=k₂*x+b₂ равен ₂ – ₁.

Так как в канонической форме уравнений прямых линий отсутствуют напрямую обозначения их углов наклона, а присутствуют только тангенсы соответствующих углов, то будем определять тангенс и правой и левой части уравнения tg = tg ( ₂ – ₁), применим формулу тангенса разности двух углов из школьного курса тригонометрии

tg = .

В исходных уравнениях прямых линий tg ₂ = k₂ и , tg ₁ = k_1, тогда tg = . (2)

Таким образом тангенс, а соответственно и сам угол между двумя прямыми может быть определен через значения угловых коэффициентов заданных прямых линия (k2 и k1).

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (2) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k₁ = k₂.  (3)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде, необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

 Условия перпендикулярности двух прямых:

В случае, когда прямые заданы уравнениями (2) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. k2 * k1 = -1  (4)