28. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки M₀(x₀,y₀,z₀) до плоскости P: Ax+By+Cz+D=0 равно длине перпендикуляра, опущенного из точки M₀(x₀,y₀,z₀) на эту плоскость. ρ(M₀,P)=

29. Угол между плоскостями. Расположение плоскостей.

Углом между плоскостями называется угол между их нормалями: P₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, ₁ (A₁,B₁,C₁); P₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, ₂ (A₂,B₂,C₂);

Cos =

Пусть P₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, ₁ (A₁,B₁,C₁); P₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, ₂ (A₂,B₂,C₂), тогда

1. Если , то P₁ и P₂ параллельные;

2. Если A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0, то P₁ и P₂ перпендикулярные;

3. Если , то P₁ и P₂ совпадают.

30. Уравнение плоскости проходящей через данную точку перпендикулярно данному направлению. Уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

Вектор перпендикулярный плоскости называется нормалью плоскости.

(a,b,c) ; ( , ) = 0 – векторное уравнение плоскости

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0 – уравнение плоскости проходящее через данную точку М₀ перпендикулярную данному вектору

Пусть в координатном пространстве   заданы три точки       не лежащие на одной прямой, точка   принадлежит плоскости

- уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

31. Прямая в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнение прямой.

• Прямую в пространстве можно получить, как пересечение двух плоскостей.

L: A₁x + B₁y + C₁z + D = 0 – общ. ур-ие прямой

A₂x + B₂y + C₂z + D = 0

Такое ур-ие возможно если Р₁ не параллельно Р₂ и не совпадают.

• Каноническое: M₀ (x₀, y₀, z₀), (m, n, l)

(x - x₀, y - y₀, z - z₀); ‖ =>

• Параметрическое:

= t => x = mt + x₀

y = nt + y₀

z = lt + z₀

32. Прямая как пересечение двух плоскостей. Приведение к каноническому виду

• Прямую в пространстве можно получить, как пересечение двух плоскостей.

L: A₁x + B₁y + C₁z + D = 0 – общ. ур-ие прямой

A₂x + B₂y + C₂z + D = 0

Такое ур-ие возможно если Р₁ не параллельно Р₂ и не совпадают.

• Каноническое: M₀ (x₀, y₀, z₀), (m, n, l)

(x - x₀, y - y₀, z - z₀); ‖ =>

33. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Найти расстояние от точки M₀ (x₀, y₀, z₀) до прямой L=

1. Расстоянием от точки до прямой будет высота параллелограмма построенного на векторах М₁ М₀ и

S=d* = d=

2. Через точку М₀ проводим плоскость перпендикулярно прямой L ( ), тогда расстоянием от точки до прямой будет длина вектора , - где М^, точка пересечения прямой с плоскостью.

34. Расстояние между прямыми в пространстве.

В пространстве даны четыре точки: A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃), D(x₄, y₄, z₄).  Найти расстояние между прямыми AB и СD  Пусть выполняются четыре условия: 

1. точка M(x₅, y₅, z₅) принадлежит прямой AB ;

2. точка N(x₆, y₆, z₆) принадлежит прямой CD ;

3. прямая MN перпендикулярна прямой AB ;

4. прямая MN перпендикулярна прямой СD ;

Тогда длина отрезка MN равна расстоянию между прямыми AB и СD

1. Векторы AM=(x₅-x₁, y₅-y₁, z₅-z₁) и AB=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁) коллинеарны ; 

2. Векторы CN=(x₆-x₃, y₆-y₃, z₆-z₃) и CD=(x₄-x₃, y₄-y₃, z₄-z₃) коллинеарны ; 

3. Векторы MN=(x₆-x₅, y₆-y₅, z₆-z₅) и AB=(x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁) ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ; 

4. Векторы MN=(x₆-x₅, y₆-y₅, z₆-z₅) и CD=(x₄-x₃, y₄-y₃, z₄-z₃)ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ;

x₅ = x₁+m(x₂-x₁) x₆ = x₃+n(x₄-x₃)

y₅ = y₁+m(y₂-y₁) y₆ = y₃+n(y₄-y₃)

z₅ = z₁+m(z₂-z₁) z₆ = z₃ +n(z₄-z₃)

               = (x₆-x₅, y₆-y_5, z₆-z₅)

x₆-x₅=x₃-x₁+n(x₄-x₃)-m(x₂-x₁)

y₆-y₅=y₃-y₁+n(y₄-y₃)-m(y₂-y₁)

z₆-z₅=z₃-z₁+n(z₄-z₃)-m(z₂-z₁)

= (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)

= (x₄-x₃, y₄-y₃, z₄-z₃) (x3-x1)*(x2-x1)+n*(x4-x3)*(x2-x1) - m*(x2-x1)*(x2-x1)+(y3-y1)*(y2-y1)+n*(y4-y3)*(y2-y1) - m*(y2-y1)*(y2-y1)+(z3-z1)*(z2-z1)+n*(z4-z3)*(z2-z1) - m*(z2-z1)*(z2-z1) = 0 (x3-x1)*(x4-x3)+n*(x4-x3)*(x4-x3) - m*(x2-x1)*(x4-x3)+(y3-y1)*(y4-y3)+n*(y4-y3)*(y4-y3) - m*(y2-y1)*(y4-y3)+(z3-z1)*(z4-z3)+n*(z4-z3)*(z4-z3) - m*(z2-z1)*(z4-z3) = 0 Введём обозначения:  P1=(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1)+(z2-z1)*(z2-z1) P2=(x2-x1)*(x4-x3)+(y2-y1)*(y4-y3)+(z2-z1)*(z4-z3) Q1=-((x4-x3)*(x2-x1)+(y4-y3)*(y2-y1)+(z4-z3)*(z2-z1)) Q2=-((x4-x3)*(x4-x3)+(y4-y3)*(y4-y3)+(z4-z3)*(z4-z3)) R1=(x3-x1)*(x2-x1)+(y3-y1)*(y2-y1)+(z3-z1)*(z2-z1) R2=(x3-x1)*(x4-x3)+(y3-y1)*(y4-y3)+(z3-z1)*(z4-z3) P1*m+Q1*n=R1  P2*m+Q2*n=R2 

m=(Q2*R1-Q1*R2)/(P1*Q2-P2*Q1) n=(P1*R2-P2*R1)/(P1*Q2-P2*Q1) Находим координаты точек M(x5, y5, z5) и N(x6, y6, z6) x5=x1+m*(x2-x1)  y5=y1+m*(y2-y1)  z5=z1+m*(z2-z1) x6=x3+n*(x4-x3) y6=y3+n*(y4-y3) z6=z3+n*(z4-z3) 

Длина отрезка MN,  перпендикулярного прямой AB и перпендикулярного прямой CD,  равна расстоянию между прямыми AB и CD: =