15. Линейная зависимость системы векторов. Основные теоремы о линейной зависимости системы 3-х,(4-х) векторов.

Пусть есть система векторов … n. Рассмотрим равенство α₁ + α₂ + … αn n = 0.

• если в этом равенстве все αi = 0, то система ,…, n линейно независимая.

• если существует хотя бы одно αi ≠ 0, то ,…, n - линейно зависимая (каждый вектор системы можно выразить через остальные векторы).

• , - линейно зависимые, если = k .

Теор.1: любые 2 неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.

Теор.2: любые 3 вектора на плоскости всегда линейно зависимы.

Аналогично: можно рассмотреть всю теорию для пространства R³(V³).

Теор.3: любые 3 некомпланарных вектора в пространстве R³ линейно независимы.

любые 4 вектора в пространстве R³ будут линейно зависимые.

16. Понятие базиса. Разложение вектора по базису. Ортонормированные базисы. Размерность.

Если и линейно независимые, то говорят, что они образуют базис в пространстве векторов (V²,R²).

Теор.1: если и образуют базис в пространстве V²,R² , то любой вектор этого пространства можно представить единственным образом виде линейной комбинации базисных векторов (разложить по базису).

, V² : = + .(разложение по базису, причем коэф-ты разложения называются координатами вектора в данном базисе = , ).

- стандартный базис в R²(V²). ( ) = a₁ a₂ .

Теор.2: любые 3 некомпланарных вектора образуют базис пространства R³(V³), причем , - базис из М R³(V³), R³: = + + , где ( , - координаты в данном базисе.

– стандартный базис в V³. = a₁ a₂ + a₃ ( ). (прямоугольная декартовая сист. координат).

Число векторов в базисе называется размерностью в пространстве (R³, )

Ортонормированные базисы

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Декартова система координат, базис которой ортонормирован называетсядекартовой прямоугольной системой координат.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n

17. Скалярное произведение и его свойства. Условие ортогональности.

• Углом между векторами называется угол между равными векторами имеющими общее начало.

• Скалярным произведением векторов называется число равное произведению длин векторов на cos между ними.

( ) = .

Свойства:

1. ( ) = ( ) – коммутативность.

2. ( ) = ( ) + ( ).

3. ( ) = k( ).

4. ( ) = ²>0, ( )=0 => =0

5. ( ) = 0 => верно обратное

=> ( ) = 0 – условие ортогональности векторов.

18. Векторное произведение и его свойства. Условие коллинеарности. Геометрический смысл векторной производной.

• 3 вектора, лежащие в одной плоскости, называются компланарными, в противном случае некомпланарными.

• Упорядоченная тройка некомпланарных векторов, называется правой, если с конца 3-го вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки. Если же этот поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

• Векторным произведением векторов и называется вектор , который ⊥ каждому из векторов и и направленный так, что тройка , , - правая.

Длина вектора = Sпар., построенного на векторах и .

= , ⊥ , ⊥ .

= Sпар. = * .

Свойства:

1. = .

2. = + .

3. = k .

4. = 0 => , верно обратное

=> = 0, условие коллинеарности векторов.

Геометрический смысл векторной производной: модуль векторного произведения равен Sпар., построенного на данных векторах. = = .