35. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть L: , (m, n, l)

P: Ax + By + Cz + D=0, (A, B, C)

1. Am+Bn+Cl=0, =0, условие параллельности прямой и плоскости

2. , -коллинеарны, условие перпендикулярности прямой и плоскости

3. , ,условие принадлежности прямой и плоскости

Угол между прямой и плоскостью:

; cos ; sin

36. Пересечение прямой и плоскости. Проекция точки на прямую и плоскость.

Двумя основными позиционными задачами являются:

• задача на пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения;

• задача на пересечение двух плоскостей общего положения.

 Прежде чем решать эти основные позиционные задачи рассмотрим частные случаи решения задач, т. е. решения позиционных задач при частном расположении пересекающихся фигур. Рассмотрим построение проекций точки K - точки пересечения прямой а общего положения с фронтально проецирующей плоскостью  Плоскость   проецируется на П₂ в виде прямой –  ₂, а на П₁ первая проекция плоскости   совпадает с плоскостью П₁.

Вторая проекция точки К - К₂ является точкой пересечения вырожденной проекции s₂ плоскости s и а₂ - второй проекции прямой а: а₂   s₂ = К₂. Проекцию К₁ находим по принадлежности точки К прямой а: К₁   а₁. Теперь обратимся к ортогональному чертежу. Отметим наП₂ точку К₂ - точку пересечения s₂ и а₂. Опустим из точки К₂ линию связи на П₁ и найдем точку пересечения с прямой а₂. К₁ - первая проекция точки К - точки пересечения плоскости s и прямой а.

Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения: Построим точку К - точку пересечения горизонтально проецирующей прямой а с плоскостью общего положения s, заданную тремя точками А, В, С. Горизонтальная проекция К₁ точки К совпадает с вырожденной проекцией прямой а: а₁ = К₁.

 Строим вторую проекцию К₂ точки К по алгоритму:

1. Проводим в плоскости П₁ прямую m₁ через точку К₁ и принадлежащую плоскости s. Точки 1₁ и 2₁ - точки пересечения прямой m₁ и отрезков А₁С₁ и В₁С₁соответственно.

2. Строим фронтальную проекцию прямой m, учитывая принадлежность точек 1 и 2 сторонам треугольникаАВС.

3. Находим точку К₂ - точку пересечения прямых m₂ и а₂:К₂=m₂   а₂.

37. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, большая, чем расстояние между фокусами. Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через 2а. Фокусы эллипса обозначают буквами F₁ и F₂, расстояние между ними - через 2с. По определению эллипса 2a>2c или a>c.

Пусть дан эллипс. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данного эллипса располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение данного эллипса имеет вид  где b = .

Число где а - большая полуось, называется эксцентриситетом эллипса.

38. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через 2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами F₁ и F₂, расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы 2a<2c, или a<c.

Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид где b= .

Число где а - большая полуось, называется эксцентриситетом гиперболы.