8. Системы линейных уравнений: определение, общее решение, частное решение. Метод Крамера.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x₁,x₂,…x_n  называется система S вида

S=

,                                                                        

Где a_ij - коэффициенты при неизвестных, b_j - свободные члены (a_ij, b_j - заданные числа).

Решением системы S называется упорядоченный набор действительных чисел a₁,a₂,…a_n, при подстановке которых в каждое уравнение системы вместо x₁,x₂,…x_n  соответственно будут получены верные числовые равенства.

Система S называется совместной (несовместной), если она имеет хотя бы одно решение (не имеет решений).

Совместная система S линейных алгебраических уравнений называется определённой (неопределённой), если она имеет единственное решение (множество решений).

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образует фундаментальную систему решений однородной системы.

СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Любая однородная система линейных алгебраических уравнений, ранг матрицы которой равен r, с помощью элементарных преобразований может быть приведена к каноническому виду:

Общее решение однородной линейной системы, записанной в каноническом виде, очевидно, определяется формулами:

Свободные переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_m−1, x_m могут принимать произвольные значения.

Вычисленные по этим формулам n − r линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений:

E₁= , E₂= , E_n-r-1= , E_n-r=

Тогда общее решение системы можно записать в вектороной форме в виде:

X=C₁E₁+C₂E₂+…+C_n-r-1E_n-r-1+C_n-rE_n-r,

X=C₁ +C₂ +…+C_n-r-1 +C_n-r

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы.

СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

X= C₁ +C₂ +…+C_n-r-1 +C_n-r

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Система линейных уравнений:

1. В данной системе составим определитель и вычислим.

=

2. Составить и вычислить следующие определители:

₁= , ₂= , ₃=

3. Воспользоваться формулами Крамера.x₁= , x₂= , x₃= .