3. Обратная матрица и методы её нахождения.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

A* A⁻¹ = A⁻¹*A=E

Обратная матрица A⁻¹существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А не вырожденная( т.е определитель этой матрицы отличен от нуля detA 0)

Методы нахождения обратной матрицы:

1. С помощью присоединенной матрицы.

а) Найти определитель исходной матрицы (detA если detA=0 то A⁻¹ )

б) Транспонирование матрицы

в) Найти алгебраическое дополнение А^Т и из них составить присоединенную матрицу Ã

г) Вычислить А^-1 по формуле: А^-1= * Ã

д) Если необходимо сделать проверку: A* A⁻¹ = A⁻¹*A=E

2) С помощью элементарных преобразований:

а) перестановка строк и столбцов матрицы

б) отбрасывание нулевой строки(столбца)

в) умножение строки(столбца) матрицы на число неравное 0.

г) умножение элементов строки(столбца) на число k 0, и прибавление к соответствующим элементам другой строки(столбца)

Суть метода:

Пусть А- квадратная матрица, detA 0, к данной матрице А справа приписываем единичную матрицу той же размерности.

С помощью элементарных преобразований над строками данной матрицы приводим её к виду В=А^-1

4. Критерий существования обратной матрицы

Обратная матрица A⁻¹существует тогда и только тогда, когда исходная матрица А не выражается( т.е определитель этой матрицы отличен от нуля detA 0)

5. Ранг матрицы и методы его нахождения.

А=

Ранг матрицы(rgA)— наивысший из порядков миноров матрицы А, отличных от нуля.

Минор матрицы это определитель получающейся вычеркиванем k-строк и k-столбцов данной матрицы.

Методы нахождения ранга матрицы:

1. Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

2. Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Элементарные преобразования:

а) перестановка строк и столбцов матрицы

б) отбрасывание нулевой строки(столбца)

в) умножение строки(столбца) матрицы на число неравное 0.

г) умножение элементов строки(столбца) на число k 0, и прибавление к соответствующим элементам другой строки(столбца)

6. Теорема о ранге матрицы

Теорема. Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличного от нуля минора.

7. Теорема о базисном миноре

Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.

Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).

В противном случае строки (столбцы) называются линейно независимыми.

Замечание. Можно доказать, что необходимым и достаточным условием линейной зависимости строк матрицы является то, что одна из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема: Строки и столбцы матрицы, элементы которых входят в базисный минор, линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией этих строк (столбцов).

 Доказательство (для строк).

1. Если бы базисные строки были линейно зависимыми, то с помощью эквивалентных преобразований из них можно было бы получить нулевую строку, что противоречит условию, что базисный минор не равен 0.

2. Строка, входящая в базисный минор, является линейной комбинацией его строк, в которой коэффициент при данной строке равен 1, а остальные коэффициенты равны 0.

Докажем это свойство для строки, не входящей в базисный минор.

Добавим к базисному минору эту строку (пусть ее номер – k) и любой столбец матрицы (пусть его номер – j). Затем разложим полученный определитель, равный 0 (так как его порядок больше ранга матрицы) по j-му столбцу: a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_kjA_kj=0/

Поскольку A_kj является базисным минором, A_kj , поэтому, разделив полученное равенство на A_kj , найдем, что a_kj = ₁a_1j+λ₂a_2j+…+λ_ka_kj для всех j=1,2,…,n,где λ_i=-  . Следовательно, выбранная строка является линейной комбинацией базисных строк. Теорема доказана.