27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.

Жордановой матрицей называется квазидиагональная матрица с клетками Жордана на главной диагонали.

Жордановым базисом для оператора A называют базис пространства V, в котором матрица оператора имеет жорданову нормальную форму.

Теорема. Пусть А – линейный оператор и его хар. многочлен имеет вид f(л) = (л1-л)^m1…(лр-л)^mp, где лямбды разные. Тогда в пространстве V существует базис V, в котором матрица оператора А имеет квазидиагональную форму с блоками А1, А2…Аp на диагонали, каждый из которых состоит из нескольких Ж. клеток на главной диагонали.

Доказательство. Раскладываем пространство на прямую сумму корневых подпространств, берем в качестве базиса совокупность базисов корневых подпространств. Рассматриваем матрицы индуцированных операторов – получаются как раз жордановы клетки.

Замечание. Жорданова форма определена однозначно с точностью до порядка Жордановых клеток.

Любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей жорданову форму.

28. Критерий подобия матриц.

Теорема. Две матрицы подобны титтк их жордановы формы совпадают. Док-во следует из того, что матрицы подобны <-> они от одного оператора.

30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.

Любой оператор A:VV, действующий в комплексном пространстве U(C), имеет по крайней мере одно собственное значение , а значит и одномерное инвариантное относительно А собственное подпространство L

Теорема. Любой оператор A:VV, действующий в вещественном пространстве U(R), имеет, по крайней мере, одно инвариантное подпространство, размерность которого не превышает 2.

(1) Если А имеет собственное значение, то, аналогично комплексному случаю, имеется собственное подпространство L().

(2) Пусть =a+ib - комплексный корень характеристического многочлена (t). Построим двумерное инвариантное пространство. Для этого найдем ненулевое решение комплексной однородной системы уравнений :

(A-(a+ib)I)(+i)=0

( здесь А - матрица оператора в фиксированном базисе е и I - единичная матрица ). Ненулевое решение (+i)Сn существует, так как определитель системы (a+ib)=0. Разделяя действительную и мнимую части, получим:

A=a-b; A=b+a.

(3) По столбцам координат и в базисе е восстановим ненулевые векторы x и y. Можем записать аналогичные соотношения для x и y :

Ax=ax-by; Ay=bx+ay. (4) Очевидно, что пространство L(x,y) инвариантно относительно А.

31. Вещественный аналог Жордановой формы.

Пусть А – оператор, действующий в n-мерном вещ. пространстве. Его х. многочлен – nй степени с вещ. коэффициентами. Если все его корни вещественны, то все по стандарту. пусть есть комплексный корень многочлена л0 = a+bi. Тогда a-bi тоже корень, причем той же кратности. Матрица оператора может быть рассмотрена как комплексная – и значит в ней есть клетки с л0 и ⌐л0 на главной диагонали.

Рассматриваем серию базисных векторов, порождающих клетку Jk(л0). Получим

Ae1 = л0e1 Aej = л0ej + e_j-1, j = 2..k

А если f = ⌐e, то

Af1 = ⌐л0f1 Af1 = ⌐л0fj + f_j-1, j = 2..k

То есть, двум собственным значениям соответствуют одинаковое количество Ж. клеток одинаковых размеров. Разбиваем ej и fj на составляющие их xj + iyj и xj-iyj

Тогда первая система получится такой

A(x1+iy1) = (a+bi)(x1+iy1) A(xj+iyj) = (a+bi)(xj+iyj) + x_j-1 + iy_j-1 То есть, Ax1 = ax1 – by1 Ay1 = bx1+ay1 Axj = axj – byj + x_j-1 Ayj = bxj +ayj + y_j-1, j=2..k

xj и yj – лнз, потому индуцированный на линейную оболочку базисных векторов e и f оператор будет иметь матрицу вида:

теорема. Для всякого линейного оператора (в вещ пр-ве) существует базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональную форму с клетками Жордана и такими как выше на главной диагонали.

Доказательство – берем базис, тот который порождает Ж клетки – оставляем, тот который порождает комплексные – разбиваем на x и y и строим такие вещ. клетки.

32. Сопряженный оператор. Существование и единственность. Матрица сопряженного оператора.

Теорема. Если A, B – линейные операторы из L(V,W) и (Ax,y) = (Bx,y) для любых x и y, то A = B.

Доказательство – вычитаем одно из другого, получаем (Ax-Bx,y) = 0 для любого Y – значит Ax – Bx = 0, Ax = Bx для любого x – значит A = B.

Пусть A из L(V,W). Отображение A*: W->V называется сопряженным, если (Ax,y) = (x,A*y) для любых x.

Пример Ax = [x,a] Тогда для любого y, (Ax,y) = ([x,a],y) = (x,[a,y])= (x,-[y,a]) = (x,-Ay) Получаем, A* = -A

Теорема. Сопряженный оператор линеен.

Доказываем через линейность самого оператора.

Теорема. Для любого оператора существует единственный сопряженный.

Доказательство. 1) существование. Каждый вектор можно разложить как x = сумма (x,ek)ek Значит, (Ax,y) = сумма (x,ek)(Aek,y) Рассмотрим оператор B = сумма(y,Aek)ek (x,By) = (y,Aek)(x,ek) = (Ax,y) – B – сопряженный! Единственность вытекает из самой первой теоремы.

Теорема. Операция сопряжения обладает свойствами: 1) (A+B)* = A*+B* 2) (aA)* = ⌐aA* 3) (AB)* = B*A* 4) (A^-1)*=(A*)^-1 5) A**=A

Доказываются чрез первую теорему и определение.

Матрицы операторов А и А* в паре ортонормированных базисов.

Теорема. Матрицы А и А*в паре о/н базисов сопряжены друг другу.

Док-во. е1..еn – базис V, f1..fm – базис W. A_fe = (a_ij), A*_ef=(b_ij). Тогда

Ae_j = сумма (a_kjf_k), A*fi = сумма (b_kie_k) и (Ae_j,f_i) = (сумма(a_kjf_k,f_i) = a_ij С другой стороны,

(Ae_j,f_i) = (e_ji,A*f_i) = (e_j,сумма b_kie_k) = ⌐b_ji

a_ij = ⌐b_ji

Получаем, что матрица сопряженного оператора – просто эрмитова сопряженная матрица оператора