21. Хар. Многочлен л.Опа. Условие существования с.Зн-й.

Хар. многочлен – функция det(A – λI) Теорема. Хар. многочлен является многочленом n степени от переменной лямбда.

Док- во. Все члены многочлена, кроме произведения диагональных имеют степень меньше n – 1 – значит степени n и n-1 определяются только произведением диагональных. Значит это уже многочлен степени n.

Коэффициент a_n-k при соотв степени – сумма главных миноров кго порядка.

Хар. Многочлены подобных матриц совпадают.

Все матрицы одного оператора имеют один хар. мн.

Теорема. Хар многочлен индуцированного оператора является делителем хар мн самого оператора. – следует из пред теорем

Теорема. Если V – прямая сумма подпространств, инвариантных отн оператора – хар многочлен оператора равен произведению хар мн индуцированных операторов. – следует из пред

Теорема. λ – собственное значение оператора титтк оно же – корень хар мн.

Док –во. Ax = λx  (A-λI)x = 0 при x <> 0. Что равносильно вырожденности A – λI. (A-λI)x = 0 - хар уравнение оператора А. Корни многочлена – хар числа оператора А.

Теорема. Произвольный л. оп. в n мерном комплексном пространстве имеет

n собственных значений хотя бы один с. вектор на любом инв. п/п хотя бы один с.в.

22. Собств. Подпространство. Геометр и алгебр кратности с.Зн.

Множество с.в., отвечающих одному λ0 – собственное подпространство, отвечающее λ0 Очевидно что оно это ядро оператора A – λ0I поэтому оно является подпространством пространства V. Его размерность называется геометрической кратностью λ0, а кратность λ0 в хар мн – алгебраической кратностью.

Теорема. Геометрическая кратность не превосходит алгебраической. пусть m и s – алг и геом кратности с. зн λ0 оператора А. Собственное подпространство инвариантно относительно А, значит можно рассмотреть индуцированный оператор A|W_λ0 – найдем его хар многочлен. Пусть e1..es – его базис. Тогда матрицей индуцированного оператора будет диагональная матрица sго порядка с λ0 на главной диагонали. Следовательно, хар многочлен будет (λ0-λ)^s Согласно теореме, это является делителем хар мн всего оператора. Но (λ0-λ) входит в весь хар мн только m раз. Значит, s <= m.

Теорема. Сумма собственных подпространств является прямой Исходит из линейной независимости векторов на разных с. значениях.

23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.

Линейное подпространство L пространства V инвариантно, если образ любого х из L находится в L. Примеры – тривиальные (0 и V), ядро и образ, у оператора дифференцирования – п/п многочленов одной степени.

Теорема. Если L инвариантное подпространство относительно оператора A, то есть такой базис, что матрица оператора имеет квазитреугольную форму. Док-во. Берём базис L, из инвариантности получаем, что образы базисных векторов тоже в L – раскладываем их по тому же базису, строим матрицу, в левом верхнем углу получается квадрат.

Теорема. Если V является прямой суммой подпространств, инвариантных относительно A, то есть базис, в котором матрица квазидиагональна.

Док-во. По очереди рассматриваем базисы подпространств как в пред теореме.

Индуцированный оператор.

A|L – индуцированный оператор, действует из L в L. – сужение оператора на подпространство L. он совпадает c A на подпространстве L и не определен вне него.

Замечание. Из пред. теоремы блоки квазидиагональной матрицы – матрицы индуцированных операторов.