8. Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.

Матрицей Грама системы векторов a1…ak называется матрица, i строками которой являются скалярные произведения (ai,a1) (ai,a2)… (ai, ak). Определитель этой матрицы называется определителем Грама.

Теорема. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама равен нулю.

Док-во. Рассмотрим вектор, являющийся линейной комбинацией векторов системы: y = α1a1 + α2a2..+αkak – равенство его нулю равносильно ортогональности каждому вектору оболочки, натянутой на векторы a1..ak – это равносильно ортогональности каждому вектору системы. Записываем эти условия в систему и получаем, что это выполняется тогда и только тогда, когда определитель матрицы нулевой.

9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до подпространства.

Совокупность всех векторов х, ортогональных подпространству L называется ортогональным дополнением.

Теорема. Ортогональное дополнение к подпространству является линейным пространством.

Док-во. Проверяем аксиомы. Ноль есть, сумма векторов принадлежит дополнению, произведение на число тоже. Доказано.

Теорема. Если L- подпространство Е(U), то оно в прямой сумме с его ортогональным дополнением дает все пространство Е.

Доказательство.

Сначала, докажем, что базисы этих двух подпространств дают в совокупности базис Е: Базис (о/н) L – e1..ek, базис его дополнения – ek+1..en. Предположим, что есть f, не являющийся лк этих всех векторов. Применим к нему процесс ортогонализации, получим en+1 – он ортогонален всем этим векторам, а значит входит в ортогональное дополнение, значит он нулевой! Ну и так как пересечение двух подпространств нулевое, сумма прямая.

Следствие. Если задано линейное подпространство L, то для любого вектора существует единственное разложение на проекцию на L и перпендикуляр:

g – проекция, h – ортогональная составляющая.

Метрика.

Множество М называется метрическим пространством, если задано отображение р: M x M -> R, которое каждой упорядоченной паре элементов x,y из M ставит в соответствие число р(x,y) из R такое что

1) р(x,y) >=0 (p(x,y) = 0 <-> x=y) 2) p(x,y) = p(y,x) 3) p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z) число p называется расстоянием между х и у. Расстояние между множествами – наименьшее расстояние между элементами множетсв.

Теорема. В евклидовом (ун) пространстве, отображение p: V x V -> R p(x,y) = |x-y| задает метрику.

Просто проверяем аксиомы.

Теорема. Расстояние между вектором и подпространством равно длине перпендикуляра, опущенного из вектора на подпространство.

Док-во.

пусть f = g+h, g из L, h из орт. дополнения, y – любой вектор из L. Тогда p(f,y)) = |f-y| = |g+h-y|=|h+(g-y)| = корень(|h|^2+|g-y|^2) – отсюда следует что минимальное расстояние равно |h|

10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы.

Матрица U - ортогональная (унитарная матрица), если UU^T=U^TU = I (UU^H = U^HU = I)

Теорема. Матрица перехода от ортонормированного базиса к другому базису евклидового (ун) пространства ортогональна (унитарна)титтк конечный базис – ортогональный.

Док-во. аналогично старому, умножаем матрицу на вектора базиса, получаем условие ортогональности матрицы как то

Ну и теоремы с 6 билета

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство Строим линейную комбинацию, поочередно умножаем скалярно на векторы системы и убеждаемся, что только тривиальная равна 0.

Следствие – в n мерном пространстве, ортонормированная система из n векторов образует базис.

Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным.

Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе e = (e1,e2..en) вычисляются по правилу xi = (x,ei) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.

Док-во. Необходимость. Пусть так и есть. Тогда вычислим координаты базисных векторов – получим единички.

Достаточность – раскладываем каждый вектор по базису, умножаем скалярно на ei – получаем координату.

Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов в базисе e = (e1,e2..en), заданных своими координатами, вычисляется по правилу (x,y) = сумма(xi*⌐yi) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.

Доказательство. Необходимость. Проверим на базисных векторах – получим единички в случае одинаковых векторов и нули в обратном случае, базис ортонормированный.

Достаточность. Раскладываем каждый вектор на сумму, дальше из линейности скалярного произведения выносим координаты и оставляем только произведения с одинаковыми базисными векторами.

11. Процесс ортогонализации Грамма –Шмидта. QR – разложение матрицы.

Процесс: Первый шаг. Берем первый вектор, нормируем: e1 = f1/|f1| k шаг. gk = fk –a1e1 – a2e2 - … - ak-1ek-1, ai = (fk,ei) – находим ek

Через n шагов получаем о/н базис

QR – разложение. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта эквивалентен умножению матрицы A с вектор – столбцами на треугольные матрицы Lk (они как единичные, только один столбец заполнен a1..ak до диагонали) – таким образом, AL1L2…Ln = Q или AL = Q или A = QR – это и есть разложение матрицы. При этом Q – ортогональная (унитарная), а R – верхняя треугольная.

12. Линейное аффинное многообразие в евклидовом (унит) пространстве. Гиперплоскость в E(U)

Пусть H = x0 + L – линейное аффинное многообразие в евкл(ун) пространстве. Вектор а из H, ортогональный L, называется нормальным вектором лин. многообразия H.

Теорема. Для любого л. многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве существует единственные нормальный вектор.

Док-во. Рассмотрим многообразие H = L + x0. Все векторы из H, ортогональные L, находятся в пересечении H и ортогонального дополнения L. Но это пересечение состоит из одного вектора, так как ортог доп-е к L – дополнительное подпространство к L (была теорема, что лин. многообразие имеет ток один общий вектор с дополнит. подпространтсвом к направляющему)

Теорема. Нормальный вектор совпадает с перпендикуляром, опущенным из любого вектора на напр. подпространство.

Док-во. нормальный вектор а принадлежит многообразию -> он может быть направляющим – получаем, что любой вектор многообразия можно разложить на a и еще какой то. Ну а так как a ортогонален L, то это и есть разложение на перпендикуляр и проекцию.

Следствие. Из всех векторов многообразия, нормальный имеет наименьшую длину.

Гиперплоскость.

Пусть H = x0 + L – гиперплоскость в E(U), т.е. dim L = n-1. Тогда ортог. доп-е к L – одномерное подпространство и его базис состоит из одного вектора a. Вектор x принадлежит H титтк x-x0 принадлежит L, то есть (x-x0,a) = 0 Таким образом, только векторы гиперплоскости H удовлетворяют данному уравнению. Также, можно записать это так: (x,a) = p, где p = (x0,a).