50. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы.

Норма (в евкл и ун пр-ве) может быть введена как длина: ||x||e = корень из (х,х). Эта норма называется евклидовой и говорят, что она порождается скалярным произведением. Любое скалярное произведение порождает некоторую норму

Теорема. Норма порождается некоторым скалярным произведением титтк выполнено равенство ||x+y||² + ||x-y||² = 2(||x||²+||y||²) Необходимость очевидна, т.к. если ||x|| = |x| то это превращается в тождество параллелограмма. Достаточность. 1. Если V – вещ. пространство, то строим (x,y) = (||x+y||²-||x||²-||y||²)/2 Доказываем 3 аксиому – преобразуем в

А это доказываем через разложение ||x+y+2z|| как x+y+z + (z) и как (x+y) + (y+z)

А вот вторая аксиома из этих рассуждений действует лишь в натуральных числах. Для нуля тоже подходит, если заменить x на –x то и для всех целых подходит. Для рациональных получаем так: (х,у) = (n/n x,y) = n(1/n x,y) => (1/n x,y) = 1/n(x,y) Домножаем на m и получаем для любых m/n Для вещественных задаем как предел рациональных.

51. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве. нормы эквивалентны, если существует такие числа c1>0 и c2>0 что для любого вектора выполняются неравенства ||x|| <= c1||x||’ и ||x||’ <= c2||x|| Теорема. в конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны. Доказательство – показываем, что любая норма эквивалентна естественной. Для этого, из неравенства c2||x||2 <= ||x|| <= c1||x||2 и непрерывности нормы (по теореме Вейерштрасса) находим c1 = sup (||x||/||x||2) и c2 = inf.

Следствие. Из сходимости одной нормы в конечномерном пространстве сходимость по любой норме.

52. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве.

53. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченность. Норма линейного оператора. Пусть V и W – лин. норм пространства с нормами ||.||v и ||.||w соответственно. Оператора А называется непрерывным в точке х, если для любой последовательности x_k сходящейся к х по норме v, последовательность Ax_k сходится к Ах по норме w Оператор непрерывен в пространстве если он непрерывен в каждой точке пространства.

Оператор ограничен, если есть такое с, что ||Ax||w <= c||x||v

Теорема. В конечномерных пространствах любой оператор ограничен. Доказательство – из аксиом нормы, ||Ax|| <= сумма (|xi|*||Aei||) –разбиваем по формуле Коши-Буняковского – получаем M||x||2, где М = корень суммы (||Aei||²) Ну и по эквивалентностям нормы, получим ||Ax|| <= c||x||, c = M/c2

Норма оператора называется мультипликативной, если ||AB|| <= ||A||*||B|| Согласованной с векторными нормами пространств V и W, если для любого оператора ||Ax||w <= ||A||*||x||v Теорема. Собственное значение оператора не превосходит по величине его согласованную норму. Док-во. ||Ax|| = |л|*||x|| и ||Ax|| <= ||A||*||x|| откуда и получаем ||A|| >= |л|

Подчиненная норма – в конечномерном пространстве u= sup ||Ax||/||x|| u является мультипликативной нормой в пространстве L(V,W), согласованной с векторными нормами пространств V и W.

Док-во. Очевидно, что оно больше нуля и равно 0 только, если А = 0. Аксиомы 2 и 3 вытекают из свойств точной верхней грани. Из определения следует согласованность. u(AB) = sup ||ABx||/||x|| <= sup u(A) ||Bx||/||x|| = u(A) sup ||Bx||/||x|| = u(A)u(B) Норма ||A|| называется подчиненной векторным пространствам V иW.

Спектральная норма.

Норма оператора, порожденная евклидовыми нормами вектора называется спектральной нормой оператора.

Итак, ||A||2 = sup ||Ax||e =

Теорема. Спектральная норма равна максимальному сингулярному числу этого оператора. Доказательство. Пусть n = dim V, m = dim W и e1..en – правый сингулярный базис, p >= … >= p_s – сингулярные числа оператора А. х = сумма x_ie_i Положим все остальные p = 0, если s <n. Тогда

И тут уже видно что максимальное значение естественной нормы равно максимальному сингулярному числу. Следствие. Спектральная норма нормального оператора равна по величине максимальному по модулю собственного значения оператора.

Теорема. Сингулярные числа лин. оператора в евклидовом пространстве не изменяются при умножении оператора на ортогональный (унитарный)

Док-во.

Пусть В = UAV, где U*U = I, V*V = I тогда B*B = V*A*AV, значит, матрицы операторов B*B и A*A подобны и их с.зн совпадают. Следствие. спектральная норма оператора не изменяется при умножении на ортогональный (унитарный) оператор.