13. Линейные операторы. Матрица ло.

Пусть V и W – линейные пространства над общим полем P. Отображение A: V -> W называется линейным отображением пространства V в пространство W, если для любых x,y из V и α из P выполняются аксиомы: 1) А(x+y) = Ax + Ay; 2) A(αx) =αAx. Это также называется линейным преобразованием, либо линейным оператором, действующим из пространства V в пространство W.

Если V = W – называется отображением в себя, либо линейным оператором, действующим в V.

Если W = P, то называется линейной формой или линейным функционалом в пространстве V.

Множество всех линейных операторов будем обозначать через L(V,W).

Операторы A и B равны, если для любого х из V, Ax = Bx

Примеры – оператор дифференцирования и оператор интегрирования (опр интеграл от нуля до х по заданной функции), оператор проектирования и отражения, нулевой и тождественный операторы.

Основные свойства.

1) Нулевой вектор переводится в нулевой – выносим 0 как параметр 2) Сохраняет линейные комбинации – из аксиом 3) Сохраняет линейную зависимость – из 2) и аксиом

Задание ЛО.

Находим действие оператора на каждый из векторов базиса V – из них уже можно составить любой другой вектор – по 2) свойству получаем:

Теорема. Пусть е1..еn – базис V и g1…gn – произвольные векторы W. Тогда есть только один линейный оператор A, переводящий векторы e в g соответственно.

Доказательство – представляем любой вектор х как линейную комбинацию векторов е – базиса V – оператор переведёт её в линейную комбинацию образов (единственную по определению), при этом выносим коэффициенты и получаем л.к. векторов g (из условия теоремы). Все аксиомы при этом выполняются. Если есть еще какой то оператор, переводящий e в g – так же выносим коэффициенты при e за оператор, получив тож самое что и для нашего оператора.

Построение матрицы оператора:

e1…en – базис V, f1…fm – базис W. Из пред. теоремы, для задания оператора достаточно рассмотреть действие на базисных векторах. Получаем Aek = gk, k = 1..n (например). Полученные векторы g линейно выражаются через базис f. В итоге, получаем: Ae_k = a_1kf₁ + a_2kf₂ + … a_mkf_m, k = 1..n. Все эти a суем в матрицу и получаем:

Это матрица оператора A в базисе e и f. Обозначается (A)_ef

Теорема. Пусть dimV = n, dimW = m. Тогда между операторами L(V,W) и матрицами n x m существует взаимно однозначное соответствие.

Док-во.

Фиксируем базисы, получаем однозначно определенную матрицу оператора в этих базисах. 1) отображение сюръективно, так как для каждой матрицы будет свой оператор. 2) инъективно так как у разных операторов будут разные матрицы.

14. Матрица ло в различных базисах, подобные и эквивалентные матрицы.

Пусть e и t = eC – два базиса V с матрицей перехода C, а f и s = fD – два базиса пространства W с матрицей перехода D. Одному оператору A соответствуют матрицы A_fe и A_st

Теорема. Матрицы A_fe и A_st связаны соотношением A_st=D^-1A_feC Док-во. y_f = A_fex_e, y_s = A_stx_t x_e = Cx_t, y_f = Dy_s – подставляем и получаем что Dy_s = A_feCx_t или DDA_stx_t = A_feCx_t => DA_st = A_feC

Следствие. Матрицы операторов в различных базисах эквивалентны

Следствие. Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса.

Матрицы А и В эквивалентны тогда, когда существуют матрицы C и D такие что A = D^-1BC

Теорема. Две матрицы одинакового размера эквивалентны  они являются матрицами одного оператора.

Док-во. Достаточность в пред теореме. Необходимость:

Пусть А,В – матрицы m x n, B = D^-1AC, фиксируем базисы f и e, получаем из матрицы А какой то оператор и выясняем, что в базисе t = eC и s = fD матрица этого оператора будет В.

Подобные матрицы – тож самое, только одна матрица: A = P^-1BP