40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора.

Теорема. Для любого линейного оператора А ранга r существуют положительные числа p1>=p2>=…>=pr>0 о/н базисы е = (е1..еn) и f = (f1..fm) такие что

Ае_к = p_kf_k, k =1..r – если нет то 0 A*f_k = p_ke_k, k = 1..r, если нет то 0.

Доказательство. (самая длинная теорема)

Рассмотрим операторы АА* и А*А – они самосопряженные и неотрицательные

Для оператора А*А есть о/н базис из с.в. – и первые t с.зн. (p_i²) отличны от нуля причем p₁²>=p₂²>=…>=p_t² а остальные равны 0.

Рассмотрим систему Ае1..Аеn и получим что (Aek,Aej) = p_k²(ek,ej) = p_k² если равны и 0 если не равны.

Получаем что это ненулевые попарно ортогональные векторы. – они образуют образ А.

Пусть p_iv= корень из p_i², fk = Aek/pk k=1..r Получаем что Aek = pkfk или 0. Векторы fk образуют о/н систему – дополняем до о/н базиса

Векторы f1..fm – собственные, отвечающие значениям p1^2..pr^2,0…0

Рисуем матрицу, транспонируем, видим что все удовлетворяет условиям и готово.

Следствие. rgA = rgA* = rgAA* = rg A*A Следствие. ненулевые с.зн. A*A и AA* совпадают.

Числа p1..ps – сингулярные числа. e1..en – правые синг. векторы, f1..fm – левые.

Теорема. Тож самое только вместо двух базисов две матрицы и вместо набора p – матрица с p на диагонали.

Полярное разложение.

Теорема. линейный оператор в одном пространстве может быть представлен в виде произведения неотрицательного оператора В и унитарного оператора U причем B определен однозначно, а если A обратим, то и U тоже.

Док-во. Сущ-е. Пусть e и f – сингулярные пары базисов. Uek = fk, Bfk = pkfk – получаем что A = BU Единственность. Если А обратим то все pk ненулевые, значит и B обратим, получаем что U = B^-1A

Теорема. Линейный оператор нормален титтк B и U в полярном разложении перестановочны. Док-во.

Пусть A = BU, тогда AA* = B^2, A*A=U*B²U Достаточность очевидна Необходимость. Если e – о/н базис из с.в, то A*Aek = p_k²ek. С другой стороны, А*А = U*B²U, значит U*B²Uek = p_k²ek то есть B²Uek = p_k²Uek – квадраты убираем, действуем U слева, сокращаем на pk и получаем то что надо.

41. Ортогональные дополнения ядра и образа оператора. Теорема и альтернатива Фредгольма

Альтернатива Фредгольма. Либо Аz = u совместно при любой правой части, либо A*x = 0 имеет нетривиальное решение.

Док-во. либо ранг оператора равен размерности пространства – тогда первое выполняется, второе нет, либо ранг меньше dim и тогда первое не всегда выполняется, а у второго есть решения.

Ядро – орт. доп образа ?

42. Билинейные и квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность.

Отображение А: V x V -> P зовется билинейной формой, если оно линейно по обоим аргументам.

Симметрическая, если (x,y) = (y,x) и кососимметрическая, если (x,y) = -(y,x)

Примеры. скал. произведение, произведение линейных форм и сумма попарных произведений координат на какой то коэффициент

Теорема. Пусть V – лин. пр-во над полем Р и е1..еn – его базис. Для любых чисел aij из P, i,j = 1..n существует единственная билинейная форма, для которой (ei,ej) = eij Доказательство. из линейности формы, раскладываем на суммы произведений базисов и получаем нужное из самого условия.

это общий вид билинейной формы. а если забить в матрицу то это будет матрица билин. формы

тогда А(x,y) = x^TAy = y^TA^Tx

теорема. существует биективное соответствие между множеством бил форм и квадратных матриц. – по теореме 1 строим матрицы форм и делаем вывод.

теорема. бил. форма симметрична (кососимметрична) титтк её матрица в любом базисе симметрична (кососимм) док. необх. – непосредственно дост- А(x,y) = y^TA^Tx = A(y,x)

Теорема. Матрицы бил формы А(х,у) в базисе е и f = eQ связаны отношением Af = Q^TA_eQ док-во. x_e = Qx_f, y_e=Qy_f -> x^T_eA_ey_e = x^T_fQ^TA_eQy_f = x^T_fA_fy_f

Теорема. Бил. форма вырождена титтк существует ненулевой х такой что A(x,y) = 0 для любого y Составляем систему уравнений, сравниваем с матрицей, получаем что ранг матрицы меньше n.

Квадратичные формы.

Квадратичная форма – билинейная, суженная на диагональ – то есть не (х,у) а (х,х) Полярная билинейная – та самая (х,у) которая соответствует этой квадратичной

Теорема. Полярная билинейная форма для любой квадратичной формы определена однозначно.

2А(х,у) = А(х+у,х+у) – А(х,х) – А(у,у) – так и выводим

Матрица квадратичной формы симметрична Существует биекция между квадр. формами в пространстве V и симметрическими матрицами. матрицы в разных базисах конгруэнтны – то есть B = Q^TAQ – а если базисы ортонормированны то они подобны.

общий вид квадратичной формы – x^TAx (A- симметрическая матрица коэффициентов). Ранг кв формы – ранг её матрицы

Базис канонический, если в нем матрица диагональна.

Теорема. Для любой кв формы есть канонический базис.

приводим методом лагранжа. если диаг элемент нулевой – переставляем так чтоб был ненулевой. если все нулевые – делаем разность квадратов.

теорема. если в матрице ранга r первые r угловых миноров ненулевые, то можно найти базис, в котором матрица диагональна с r ненулевыми элементами.

Доказательство – приводим методом лагранжа, после r шагов останется угловой блок, его убираем. лямбды равны dk/dk-1 – d0 =1.

Теорема. квадр. форма вырождена титтк есть ненулевой х такой что А(х,х)=0

вытекает из аналогичной теоремы про биф