15. Лин. Пространство лин. Операторов и матриц.

На множестве L(V,W) введем операции сложения векторов и умножения вектора на число. Сумма – как сумма образов, умножение – тоже просто умножение образа на число.

Теорема. Для любых операторов A,B из L(V,W) и любого α, сумма операторов и произведение на число тоже будет из L(V,W). Доказательство – из линейности операторов, просто раскладываем (A + B)(x+y) до (A+B)x + (A+B)y. С произведением аналогично.

Следствие 1. Сложение операторов – внутренний закон композиции, умножение на число = внешний.

Теорема. Множество L(V,W) - лин. пространство над полем P относительно введенных операций. Док-во Просто проверяем аксиомы линейного пространства – нулевое отображение, противоположное, ассоциативность, дистрибутивность…

Теорема. Если dim V = n, dim W = m, то L(V,W) изоморфно множеству матриц m x n.

Фиксируем базисы – каждая матрица будет соответствовать какому то оператору – биективность. Выполнение законов композиции можно показать через представления векторов как лк базисов.

Следствие. dim L(V,W) = dim V * dim W.

16. Произведение ло и его матрица.

произведение операторов A из L(V,W) и B из L(W,Z) называется отображение C : V -> Z выполняемое по правилу Cx = B(Ax) обозначение BA

Теорема. Если A из L(V,W) и B из L(W,Z) то C = BA из L(V,Z).

Доказательство. Линейность проверяем просто так, проверяем ассоциативность, вынесение константы и дистрибутивность. Умножение не коммутативно.

Теорема. При умножении операторов, их матрицы умножаются.

Док-во.

Пусть a_ij – элементы матрицы A_fe, b_ij – матрицы B_gf, c_ij – матрицы (BA)_ge, dimV =n, dimW = m, dimZ = k. Тогда BAe_j = суммапоi c_ijg_i Также, BAe_{j =} B(Ae_j) = B(суммапоs a_sif_s) = суммапоs a_si(Bf_s) = суммапоs a_si суммапоi b_sig_i = суммапоs суммапоi a_sjb_isg_i => выделяем внутри сумму по s и получаем (сравнивая с первым выражением) что c_ij = суммапоs b_isa_sj

17. Ядро и образ л.О. Каноническая пара базисов.

Образ оператора – все такие y для которых найдутся x такие что y = Ax, то есть это множество, получающееся из пространства V после действия оператора А.

Ядро оператора – все такие x что Ax = 0.

Примеры – оператор дифференцирования – ядро – все константы, образ – множество многочленов степени на единицу меньше. Оператор проектирования – образ – пространство, на которое проектируется, ядро – пространство, параллельно которому проектируется.

Ранг оператора – размерность его образа, дефект – размерность ядра.

Теорема. Если e1..en – базис V, то imA = L(Ae1…Aen).

Доказательство. Показываем двустороннее вложение. Если вектор y в образе, то есть такой x, что Ax = y -> из базиса е1..еn можно получить x -> раскладываем его как лк базиса, действуем оператором, получаем лк (Ae1…Aen). Если y есть в L(Ae1…Aen) то его можно представить как лк из (Ae1…Aen) – оператор за скобку, внутри х, значит y в образе.

Теорема. Ранг оператора равен рангу его матрицы в любом базисе.

Ранг это ранг системы L(Ae1…Aen), ранг которой от базиса не зависит и в любом базисе f можно составить матрицу из них.

Теорема. rgA + defA = dimV (V – пространство, откуда оператор действует).

Пусть ядро ненулевое, берем базис ядра: e1..ek, дополняем до en, по первой теореме, образ это L(Ae_k+1…Ae_n) – доказываем что те векторы линейно независимы. Если они линейно зависимы, то существует лк, равная нулю. – выносим оператор за скобки и получаем что вектор – лк из ядра, то есть получаем что базис линейно зависим, что невозможно. Итак,rgA + defA = dimV Если кратко описать, есть только два типа векторов из V – которые переходят в 0 и которые не переходят в 0. Первые образуют ядро, вторые – образ. Других векторов просто нет, получаем что V делится на прямую сумму ядра и образа – сумма их размерностей равна размерности V!

Теорема. Множество всех прообразов y из образа A является лин. многообразием с напр. подпространством ядра оператора A

Док-во. Пусть x0 – один из прообразов t, K – множество всех прообразов y, H = x0 + kerA тогда K = H так как выполняется двустороннее вложение:

Если х принадлежит К, то x = x0 + (x-x0) = x0 + l, l принадлежит ядру А если х принадлежит H то x = x0 + l, l из ядра значит Ax = y.

Для тех, кто еще не понял – в первом случае мы просто добавили и вычли еще один прообраз y, а из линейности оператора, A(x-x0) = Ax – Ax0 = y – y = 0 – так как это два прообраза y. Во втором случае, мы просто подействовали оператором на вектор из H и получили y – значит х – прообраз.

Теорема. Существуют базисы e и f, в которых матрица оператора ранга r из L(V,W) где dimV = n, dimW = m выглядит так: r единиц на главной диагонали, остальные нули.

Док-во. В произвольном базисе матрица оператора имеет ранг r – значит она эквивалентна такой вот «единичной» матрице Ir значит Ir это тоже матрица этого оператора.

Такие базисы из пред теоремы называются каноническими.