6.3. Методы теоретического построения плана безотрывных течений

а) Метод, основанный на теоретическом расчете распределения скоростей течения по ширине потока

Метод заключается в последовательном расчете средних по глубине скоростей течения на нескольких гидростворах (см. методы, рассмотренные в главе 5); расчете удельных расходов воды по формуле (6.2); построении для каждого створа интегральной кривой удельных расходов , как это было сделано в разделе 6.2. Затем суммарный расход воды Q= делится на m и строится план течений точно также как в разделе 6.2.

Изложенный метод в практических расчетах используется крайне редко.

б) Основы метода Н. М. Бернадского

Н. М. Бернадский в 1931 г. предложил специальный и весьма оригинальный метод построения плана течений. К сожалению, из-за большой сложности метода в первоначальном виде он практически не используется. Различные толкования метода Н. М. Бернадского были изложены в работах его сотрудников Б. В. Проскурякова (1935), Ю. В. Прокофьевой и В. И. Новоторцева (1935), а также И. И. Леви (1957), А. В. Караушевым (1960, 1969), К. В. Гришаниным (1979) и др.

Ниже приведены основы метода Н. М. Бернадского в изложении К. В. Гришанина (1979).

Принимается система натуральных координат, когда координатными линиями служат плановые линии тока и ортогональные им криволинейные поперечники. Продольная координата имеет обозначение l, поперечная b (см. рис. 16).

Система исходных уравнений записывается в следующем виде:

– уравнение продольного динамического равновесия (уравнение неравномерного движения)

, (6.3)

где v – средняя скорость течения в транзитной струе, I_l – продольный уклон водной поверхности, h – глубина;

– уравнение поперечного динамического равновесия

, (6.4)

где I_b – поперечный уклон водной поверхности, r – радиус изгиба струи;

– два уравнения неразрывности

Q=vbh (6.5)

и

, (6.6)

где Q – расход транзитной струи, b – ее ширина, а величина названа Бернадским "кривизной поперечника".

Выражая коэффициент Шези по Маннингу (С= ), из (6.3) получают

. (6.7)

Из (6.6) находят dv/dl:

. (6.8)

Величина может быть вслед за Бернадским заменена по формуле

, (6.9)

где отношение получило название "кривизна вертикали".

Подставляя из (6.8) в (6.7) с учетом только что сделанной замены, можно получить

. (6.10)

Уравнение (6.10) вместе с (6.4) составляют систему, названную Бернадским "правилом рисунка".

При условии известного поля глубин, система из уравнений (6.10) и (6.4) решается методом конечных разностей и итерационным способом. Вначале задаются размеры клетки ортогональной решетки l и b (рис. 16). Затем к этой клетке пристраиваются другие, размеры которых рассчитываются с помощью "правила рисунка". Расчетная схема получается весьма сложной.

в) Упрощенный вариант метода Н. М. Бернадского

Одно из упрощений метода Бернадского заключается в пренебрежении силами инерции и поперечными уклонами. Тогда уравнение (6.3) приводится к формуле

, (6.11)

которую для практического использования записывают в виде

. (6.12)

Умножая v на h, получают

. (6.13)

Это уравнение решается методом конечных разностей.

г) Метод плоских сечений (метод М. А. Великанова)

Еще одно упрощение метода Н. М. Бернадского было предложено М. А. Великановым и названо "методом плоских сечений".

В методе принимается, что поперечники, составляющие ортогональную решетку (рис. 16), не кривые линии, а прямые.

Для каждого поперечника, пересекающего створ от одного берега до другого, строится кривая . В этом случае расход воды может быть выражен формулой

, (6.14)

здесь В – ширина русла, а неизвестная заранее величина принята постоянной.

Поскольку Q, I и n неизвестны, разбиение потока на m струй можно осуществить лишь путем деления на m некоторой величины А, пропорциональной Q. Перепишем (6.14) следующим образом:

. (6.15)

Чтобы найти величину А необходимо построить эпюру изменения функции h^5/3 по ширине русла и осуществить ее последовательное суммирование, вычисляя текущее значение (рис. 19). У противоположного берега получим =А. Если разделить А на m заданных частей и снять с графика =(b) соответствующие расстояния от берега, поток в данном створе будет разбит на m транзитных струй (рис. 19).

Рис. 19. Схема деления потока на транзитные струи. Распределение по ширине русла: 1 – функции h^5/3, 2 – функции .

Рассмотренный способ разбиения потока на струи сходен с методом, изложенным в разделе 6.2. Однако при наличии данных измерений на m струй делится расход воды Q, а в данном случае величина А= , пропорциональная расходу воды.

Если же при применении метода плоских сечений расход воды в русле Q известен (например, определен с помощью кривой Q=f(H) или рассчитан гидравлическим методом), то расходы транзитных струй и в данном случае рассчитывают по формуле (6.1): Q=Q/m.

д) Метод фрагментов

В случае сложного строения русла (наличие островов, рукавов, сложных перекатов и т.д.) поток разбивают в плане на участки, называемые фрагментами. Для каждого фрагмента план течений строят изложенными выше способами, например с применением метода плоских сечений (метод М. А. Великанова). Если распределение расхода воды между фрагментами известно, то общий план течений составляется путем склейки фрагментов (рис. 20). Например, если план течений необходимо построить в русле, разделенном на рукава, то предварительно должно быть рассчитано распределение расходов воды между рукавами (см. тему 5).

Более сложная ситуация складывается, если отдельные части русла (фрагменты), например, плесовые лощины, соединены затопляемыми отмелями, через которые осуществляется переток воды из одной плесовой лощины в другую (рис. 21). В таких случаях необходимо расчетным путем определить изменение расходов воды вдоль фрагментов (например, увеличение вдоль одной плесовой лощины и уменьшение вдоль другой).

В примере, приведенном на рис. 21, задача решается, согласно К. В. Гришанину (1979), следующим образом.

Рис. 20. Схема размещения плоских сечений в двух рукавах (фрагментах)

Рис. 21. Схема фрагментов потока (перекат с затонской частью)

1 – плесовые лощины (I – верхняя, II – нижняя, затонская часть), 2 – затопленные побочни переката, 3 – гребень переката,4 – направление перетока воды, 5 – плоские сечения.

Пусть расход воды в левой плесовой лощине (Q_I) вдоль потока уменьшается вследствие перелива воды в правую плесовую лощину, расход воды в которой (Q_II) вдоль течения увеличивается. Через перекат по линии OL длиной L из левой плесовой лощины в правую поступает некоторый удельный расход воды перетока q_пер:

. (6.16)

Чтобы воспользоваться методом плоских сечений, необходимо найти функции Q_I=f(L) и Q_II=(L) или хотя бы одну из них, например, вторую. Проинтегрируем (6.16):

. (6.17)

Удельный расход воды перетока q_пер может быть рассчитан по формуле затопленного водослива с широким потоком

, (6.18)

где h – глубина на гребне переката, z_I – z_II – разность средних отметок уровня в левом и правом плесах, а – коэффициент.

Примем следующее допущение: z_I – z_II=const и поэтому удельный расход перелива q_пер пропорционален глубине на гребне переката (q_перh).

Таким образом, расход воды в правой плесовой лощине Q_II должен зависеть от изменения вдоль потока площади сечения над гребнем переката:

 (L). (6.19)

В результате расчета будут получены значения Q_I и Q_II в любых сечениях обоих фрагментов. При известных Q_I и Q_II в начальных сечениях фрагментов, которые заранее определяются расчетным путем, далее методом плоских сечений могут быть построены планы течений в обеих плесовых лощинах.