II. Табличное представление экспертных данных. Числовые характерис­тики выборки, упрощенные методы вычисления характеристик Предмет и основные задачи математической статистики

Предметом математической статистики является разработка методов регистраций, описания и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей изучаемых случайных явлений.

Основные задачи математической статистки:

1. Оценка (приближённое нахождение закона распределения) по опытным данным изучаемого количественного признака (изучаемой СВ).

2. Оценка неизвестных параметров распределения

3. Оценка тесноты корреляционной зависимости при изучении двумерного количественного признака (X,Y) и определение параметров уравнений регрессии.

4. Проверка статистических гипотез.

Генеральная и выборочная совокупности

Предположим, что изучается некоторый количественный или качественный признак. Для его исследования всегда выбирают некоторый промежуток значений (период времени). Сплошное исследование по всем значений применяют редко.

Выборочной совокупностью (выборкой) - называют совокупность случайно отобранных (полученных) объектов (измерений). Количество отобранных объектов (измерений) называют объемом выборки (n).

Генеральной совокупностью (ГС) - называют то, из чего берётся выборочная совокупность. Пример: Рост человека (ГС – все возможные значения 30 см  3 м, выборка берётся в зависимости от задач).

Выборка называется повторной, если выбранный объект возвращается после каждого испытания в генеральную совокупность, в противном случае выборка бесповторная. Если объём выборки большой, то разница между повторной и бесповторной выборками стирается.

Выборка называется репрезентативной, если она проводится случайным образом и шанс попасть в выборку у каждого объекта примерно равен. Эту выборку ещё называют представительной (так как она несёт неискажённую информацию о генеральной совокупности).

Упрощённые методы вычисления характеристик

Задача: По выборке объёма n с равностоящими вариантами, полученной в ходе эксперимента требуется найти оценки генерального математического ожидания и генеральной дисперсии.

Для упрощения расчётов составляют таблицу, по которой от абсолютных вариант переходят к относительным. Для этого применяют так называемый “ложный ноль”, за который обычно принимают варианту, имеющую наибольшую частоту (значение варианты близкой к середине).

Полученные значения Xi	Частоты проявле- ния ni	Условные варианты Ui	Значения произведений условных вариант
			ni·Ui	ni·Ui²	ni·(Ui+1)²
10 15 20 25 30	6 16 50 24 24	-2 -1 0 1 2	- 12 -16 0 24 8	24 16 0 24 16	6 0 50 96 36
	n = 100		ni·Ui = 4	ni·Ui²=80	ni·(Ui+1)²=188

1) После заполнения 1,2 столбцов таблицы, переходят к условным вариантам, которые определяются по формуле:

Xi - C

Ui = h

где: Xi – абсолютная варианта; С - “ложный ноль”, варианта с максимальной частотой (в данном случае 20), h – шаг измерений (разность между вариантами). В рассматриваемом примере h = 5.

2. Проверка правильности заполнения таблицы

ni·(Ui+1)² =  ni·Ui² + 2 ni·Ui + n = 80 + 8 + 100 = 188.

3) Заполнение 4,5,6 столбцов таблицы.

4. Используя таблицу определяется относительное математическое ожидание, как среднее арифметическое значений относительных вариант:

Ū = 1/n  ni·Ui = 1/100 · 4 = 0,04.

5. Находится выборочное математическое ожидание из формулы для относительной варианты:

Хв = 1/n ni·(Xi-C) + C = 1/n ni·Ui·h = Ū·h + C = 20,2. Оценка математического ожидания несмещённая.

6. Для оценки дисперсии применяется формула:

Д в = 1/n  Хi² - (Хв)² = (с учётом “ложного нуля”) =1/n ni·(Хi -С)² - (Хв - С)² = (1/n ni·Ui² - (Ū)²) h² = 19,96.

Данная оценка является смещённой (так как расчёты по относительным вариантам производились в квадрате), поэтому рассматривают новую оценку генеральной совокупности (дисперсии количественного признака генеральной совокупности)с использованием множителя Бесселя:

S² = (n/ n-1) · Дв

S² = 100/99·19,96 = 20,16

Иногда в расчётах применяется поправка Шеппорта:

Дв = Д в – 1/12·h²

7. О пределяется среднеквадратическое отклонение:

 = √ S² = 4,49.

Теория вероятности применяется на всех этапах построения моделей информационных процессов. Учитывая факт исследования закрытых систем, причем таких, некоторые события которых никогда не будут постигнуты, приходится оперировать вероятностными характеристиками того или иного состояния объекта. Поэтому теория активно используется в анализе систем.