1. Основные понятия комбинаторики

Для расчёта вероятностей случайных событий применяются формулы (понятия) комбинаторики. Рассмотрим основные из них.

Под соединением понимается множество элементов произвольной природы.

Размещениями – называются такие соединения, содержащие k-элементов, взятых из данных n-элементов, отличающихся друг от друга либо порядком расположения, либо самими элементами.

k n!

А n = = n (n-1)….(n-k +1);

( n - k)!

Пример: k=2, n=3 Буквы: ABC

Возможны варианты: 1) AB. 2)AC. 3)BC. 4)BA. 5)CA. 6)CB.

k

Аn = 6/1 =6.

Перестановками содержащие k-элементов, взятых из данных n-элементов - называются такие соединения, которые отличаются друг от друга только порядком элементов.

Pn = n! Пример: n=3. Pn=6. Варианты: ABC, BCA, CAB, CBA, BAC, ACB.

Сочетаниями из n-элементов, взятых по k-элементам называются такие соединения, содержащие k-элементов, взятых из данных n-элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок может быть любой).

k

k n! An k n-k

C n = = Сn = Cn

k! (n-k)! Pn

2 3 · 2

П ример: С3 = = 3

2 · 1

Размещениями с повторениями называются такие соединения, содержащие k-элементов, взятых из данных n-элементов, отличающиеся друг от друга либо порядком, либо самими элементами, причём элементы могут повторяться.

k k

Rn = n

Пример: n=2 (0,1) двоичный код.

5 5

R2 = 2 = 32 00000

00001

…..

11111

2. Пространство элементарных событий

Предположим, что опытным путём изучается некоторое явление.

Все мыслимые исходы опыта будем называть элементарными событиями или точками, которые обозначаются ω1,ω2, …,ωn.

Совокупность всех элементарных событий называют пространством элементарных событий (ПЭС).

Ω = {ω1,ω2, …,ωn}

ПЭС бывает трёх видов:

1. Конечное ПЭС. Пример: Опыт с двумя исходами: успех, неудача.

Ω = {ω1,ω2} = {0,1}

2. Счётное ПЭС, когда все элементарные события, можно пронумеровать до ∞.

Пример: Проведение опыта до первого успеха.

Ω = {ω1,ω2,… ωn} = {(1), (01), (001), …}

3. Несчётное непрерывное ПЭС.

Пример: Экран радиолокатора – пространство элементарных событий, если он имеет форму круга, с осями координат в центре r=10

Ω = {ω(x+y)  R²/ x² + y²  100}.

Выделение ПЭС является первым этапом в построении вероятностной модели эксперимента.

3. Классификация случайный событий

Событие А называется достоверным, если в результате опыта оно обязательно произойдёт Ω.

Событие А называется невозможным, если в результате опыта оно не произойдёт .

Случайные события могут быть простыми и сложными. Простому событию не предшествуют другие события. При рассмотрении сложных событий предполагают, что причиной рассматриваемого события послужило другое (предшествующее ему) событие. Поэтому для расчёта его вероятностных характеристик необходимо рассмотрение событий в комплексе.

Действия над событиями:

1. Объединение двух событий – это событие, означающее что происходит первое или второе событие

АUВ = С ={/A,[или] B}.

А = {2,4,6} В = {3,6} АUВ = {2,3,4,6}

Очевидно: АU - достоверное событие

АU = А

АUА = А

2. Пересечением (умножением) двух событий называется событие, означающее что происходит и первое и второе событие

А∩В= С ={/A,[и] B}.

А∩В = А  В = {6}.

Очевидно: А = А

А = 

АА = А.

3. Разностью двух событий называется событие, состоящее в том, что произойдёт первое, но не произойдёт второе событие

А\ В= С ={/A,[и] B}.

А\ В= С ={2,4}.

АUВ = (А\ В) U (АВ) U(В\ А)

Событие Ā называется противоположным к событию А, если:

Ā =  - А, то есть Ā\ А = .

Два события называются несовместимыми, если их произведение есть невозможное событие. В противном случае события совместные.

Запись А  В (включено) означает, что из наступления события А необходимо следует наступление события В, и, если ВА, то А=В – они эквивалентные события.

Случайные события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу событий, если их объединение Н1 U Н2 U,…, U Нn =  - достоверное событие, и они попарно несовместны Нi · Нj =  (рис. 3.9).

ij



Рис.3.9. Полная группа событий

Множество всех событий, которое можно получить для данного ПЭС обозначается œ. Если Аœ и В œ АUВ = œ, А·В = œ, А\В = œ. то œ-алгебра событий.

Если А1œ, А2 œ, … Аn œ, то алгебра событий называется -алгеброй, при выполнении условий: 1) U An  œ 2) ∩ An  œ.

n=1∞ n=1∞

Выделение множества всех событий для данного пространства элементарных событий (выделение -алгебры) является вторым этапом в построении вероятностной модели эксперимента.

Пример: Опыт в двукратном проведении эксперимента с двумя исходами 1-“успех”, 0 -“неудача”.

1 2 3 4 4

 = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} œ-содержит 2 = 16 событий из ПЭС

œ = {,,(1), (2), (3), (4), (1,2), (2,3), (3,4), (1,3), (1,4), (2,4), (1,2,3), (1,2,4), (23,4), (1,2,3,4)}.

Таким образом определили -алгебру: невозможное, достоверное события и возможные исходы.

Нахождение вероятности любого события из œ является последним (третьим) этапом в построении вероятностной модели эксперимента

(, œ, Р) - вероятностная модель эксперимента.

Пример: Опыт с двумя исходами. Проводим один раз.

 = {1,0} «успех», «неудача»

œ = {,,(1),(2)} P(1) = P

    P(2) = Q P + Q = 1

Р = 0 1 Р Q

Пример: Опыт с двумя исходами проводим два раза.

 = {(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)}

   

Р = q² qp pq p² p² + 2pq + q² = (p + q)² = 1.