Операции булевой алгебры
Функции математической логики ввёл Джордж Буль (1815-1864 г.). Говоря о творчестве Джорджа Буля, исследователи истории вычислительной техники непременно подчеркивают, что этот выдающийся английский ученый первой половины XIX века был самоучкой. Возможно, именно благодаря отсутствию «классического» (в понимании того времени) образования, Джордж Буль внес в логику, как в науку, революционные изменения. Занимаясь исследованием законов мышления, он применил в логике систему формальных обозначений и правил, близкую к математической. Впоследствии эту систему назвали логической алгеброй или булевой алгеброй. Правила этой системы применимы к самым разнообразным объектам и их группам (множествам, по терминологии автора). Основное назначение системы, по замыслу Дж. Буля, состояло в том, чтобы кодировать логические высказывания и сводить структуры логических умозаключений к простым выражениям, близким по форме к математическим формулам. Результатом формального расчета логического выражения является одно из двух логических значений: истина или ложь.
Значение логической алгебры долгое время игнорировалось, поскольку ее приемы и методы не содержали практической пользы для науки и техники того времени. Однако, когда появилась принципиальная возможность создания средств вычислительной техники на электронной базе, операции, введенные Булем, оказались весьма полезны. Они изначально ориентированы на работу только с двумя сущностями: истина и ложь. Нетрудно понять, как они пригодились для работы с двоичным кодом, который в современных компьютерах тоже представляется всего двумя сигналами: ноль и единица.
Не вся система Джорджа Буля (как и не все предложенные им логические операции) были использованы при создании электронных вычислительных машин, но три основные операции: И (пересечение), ИЛИ (объединение), НЕ (обрамление, отрицание) — лежат в основе работы всех видов процессоров современных компьютеров.
Рассмотрим несколько простых высказываний, про каждое из которых можно сказать истинно оно или ложно:
Х n = { 1, если истинно; 0 – если ложно}.
Из данных логических высказываний строятся новые высказывания, про каждое из которых можно сказать истинно оно или ложно.
Основные термины математической логики
_
Запись A - «читается “не A”», отрицание А. Отрицание "не" - отрицанием данного высказывания «А» называется новое высказывание, которое истинно, когда данное высказывание ложно и ложно, когда данное высказывание истинно.
Запись А \/ B «читается А или В». \/ – знак дизъюнкции (логического сложения). Дизъюнкция "или" - дизъюнкцией двух высказываний «X» и «Y» называется такое новое высказывание «X Y», которое истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний «X» или «Y», или оба вместе.
Запись А /\ B «читается А и В». /\ - знак конъюнкции (логического умножения). Конъюнкция "и" - конъюнкцией двух высказываний «А» и «В» называется такое высказывание «А В», которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания «А» и «В».
Логическое отрицание инверсия F = X (читается Эф равно не Икс).
Запись Х X : А(Х) – «читается для всякого элемента x из множества Х справедливо высказывание А».
Запись Х Х : А – «читается существует элемент Х из множества Х, для которого справедливо высказывание А».
Запись ! хХ: А – читается «существует, причём единственный элемент х их множества Х, для которого справедливо высказывание А».
8. Запись А В - «из высказывания А следует высказывание В».
9. Запись А В - «читается высказывание А эквивалентно высказыванию В», то есть из А следует В, а из В следует А.
10. Запись А = В высказывание А равносильно высказыванию В.
Булевы функции задаются тремя способами:
Аналитический Q = (x1,x2,…xn).
Табличный. В левой части таблицы перечисляются всевозможные комбинации истинности высказываний (их 2 в степени n), а в правой части значения истинности составного высказывания.
Логическая схема
n=1 – одно высказывание.
F1(x) = 0 – константа 0.
F2(x) = 1 – константа 1.
F3(x) = x – тождественная функция.
F4(x) = не x – функция отрицания.
|
F |
F2 |
F3 |
F4 |
х |
0 |
1 |
х |
х |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Итак, Булевы функции – это значения выходной функции, зависящая от аргументов (входных параметров). Задать Булеву функцию, значит указать значения функции 0 или 1 при всех возможных комбинациях значений элементов. Каждую конкретную комбинацию называю набором или точкой.
Применяются функции математической логики при проверке истинности события, при совмещении двух и более событий произошедших одновременно с целью определения состояния, в котором в результате этих событий окажется объект.
Необходимо отличать тавтологически истинные элементы от функций, которые истинны вследствие сделанных предположений или физических законов. Первые не несут никакой полезной информации, в то время как вторые накладывают определённые связи на входящие в них элементы.
Пример реализации аппарата математической логики показан для распознавания ситуации: этапа окончания учений и (или) проведения дополнительной фазы.
Описание задачи распознавания будет включать 3-и признака и 3-и класса.
Признак |
А1 Продолжение стрельб |
А2 Заключительный этап |
А3 Дополнительная фаза учений |
х1 – применение дополнительных сил истребительной авиации |
1 |
0 |
1 |
х2 – взлет бомбардировщика с авиабазы |
0 |
0 |
1 |
х3 – сигнал на окончание учения |
0 |
1 |
0 |
_
_ _
F1 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 1 0 1 : 1 0 0
_ _ _ _
F2 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 0 0 1 : 0 1 0
_ _ _ _
F3 = X1 • X2 • X3 = A1 * A2 * A3 0 1 0 : 0 0 1
Считаем, что на данном этапе присутствуют признаки Х2 - то есть бомбардировщик взлетел с авиабазы.
1
0 1
λ = 0 1 0 0 0 1 = 0 0 1
0 1 0
1 0 0
G
= 0
0 1
0 1 0 = 0 0 1 = 3
А3
проведение
0 0 1 дополнительной фазы
учений
Делаем вывод, что проводится дополнительная фаза учений.