III. Сравнительный анализ подходов к математическому описанию информационных процессов

Итак, как мы отметили, в своей деятельности специалисты изучают недоступные практические системы и информационные процессы, протекающие в них. Поскольку объект закрыт, необходимо его моделирование и последующее сравнение полученных фактов с модельными описаниями, и формулирование выводов о состоянии объекта. В любом случае речь идёт о распознавании того или иного объекта. Распознать – это идентифицировать наблюдаемый объект по назначению с заданной степенью вероятности. Для этого используются математические аппараты:

• теории множеств;

• математической логики;

• синтеза текущего графа и оценки его сходства с эталоном (моделью);

• теории вероятности;

• корреляционного анализа.

Математический аппарат математической логики применяется при проверке истинности утверждений (высказываний), используемых в последующем анализе.

Теория множеств используется при сравнении информационных массивов.

Сетевые графы используются для графического представления исследуемых процессов, для обеспечения наглядности и качественной оптимизации.

Теория вероятности применяется для обоснования выводов сделанных по наблюдаемым событиям.

Теория корреляционного анализа является отдельной областью теории вероятности и изучает способности случайных величин коррелироваться, то есть по своим значениям приближаться к друг другу. Случайные величины X и Y могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми.

§ 3.2. Математический аппарат теории множеств

1. Основные понятия теории множеств. Операции над множествами

Понятие множеств ввёл Георг Кантор (1845-1918 г.). Он писал «Множество-это многое, мыслимое, написанное как единое».

Под множеством понимается – любая совокупность объектов, предметов, состояний, называемых элементами множества.

Множество может быть задано способами:

1. Перечислением всех его элементов (когда множество конечно)

А = {1,2,4,5}.

2. С помощью характеристического свойства:

А = {Х/ XY: x<5}. Y- универсальное множество, то есть множество содержащее все элементы рассматриваемые в данной задаче.

Множества могут быть счётными – если все его элементы можно пронумеровать, в противном случае оно несчётно.

Действия над множествами

1. Объединение множеств - это такое множество, элементами которого являются элементы множества А или элементы множества В, причём если у них есть общие элементы то они входят в объединение один раз.

АUВ = {Х/ XY: хA,[или] xB}.

Пример: А = {2,3,4,5}, В = {0,1,2}.

АUВ = {0,1,2,3,4,5}.

2. Пересечение множеств - это такое множество, элементами которого являются элементы множества А и элементы множества В.

А  В = {Х/ XY: хA, ,[и] xB}.

Пример: А  В={2}.

3. Разность двух множеств - это такое множество, элементами которого являются элементы уменьшаемого множества (А) за исключением элементов вычитающего множества(В).

А\В = {Х/ XY, XA [и] ХB}.

Пример: А\В = {3,4,5}.А = {2,3,4,5}, В ={0,1,2}, А\В = {3,4,5}, В\А = {0,1}.

4. Дополнение множеств. Множество А является дополнением к множеству В, если выполняется условие:

{А U В = Y, А  В = 0.

Y

B

Пример: В практической жизни

страны - анклавы: ЮАР (Свазиленд,

Лесото).

Множествами оперируют, когда работают с классификаторами признаков, где сосредотачиваются все мероприятия проводимые объектами в той или иной степени своей готовности. В ходе автоматизированной обработки результатов наблюдений, производится их сравнение с эталонными моделями. На основании выводов о том, что явилось причиной анализируемого состояния (объединение, пересечение, разность или дополнение), делается вывод о сущности данного состояния.

Пример:

УТП: - плановая подготовка (экипажа и технического персонала);

- плановое прибытие и вылет;

- отработка полётного задания;

- плановые доклады в звене «борт-земля»;

- завершение и разбор полёта.

ЛТУ (лётно-тактическое учение) в отличие от учебно-тренировочных полётов, предполагает отработку действий авиационной части при введении повышенных степеней боевой готовности :

• плановая подготовка (экипажа и технического персонала);

• сбор по тревоге;

• перевод в состав дежурных сил;

• массовый взлёт авиации;

• отработка полётного задания с получением вводных в воздухе;

• доклады в звене «борт-земля» о выполнении задач;

• завершение и разбор полёта.

Допустим, в результате моделирования получено:

• сбор по тревоге;

• перевод в состав дежурных сил;

• массовый взлёт авиации;

• отработка полётного задания с получением вводных в воздухе;

• доклады в звене «борт-земля» о выполнении задач;

Делаем вывод, что результат – разность двух множеств (эталонных описаний), поэтому вероятнее всего наличие второго события, так как наблюдению подверглись его мероприятия (элементы).

Признаки инспекторских проверок – результат объединения признаков ЛТУ и УТП.

Кроме того, множествами оперируют при нахождении определителей при решении систем уравнений.

Рассмотрим систему уравнений:

а1х + b1y = C1 где: х,y - неизвестные,

a2x + b2y = C2 a1,a2,b1,b2 – коэффициенты.

Преобразуем систему уравнений:

C1b2 – C2b1

( a1b2 - a2b1)x = C1b2 – C2b1 x =

(a1b2 - a2b1)y = C2a1 – C1a2 a1b2 - a2b1

C2a1 – C1a2

y =

a1b2 - a2b1

X= Δx /Δ, Y= Δy/ Δ.

a1 b1

Число a1b2 - a2b1 = Δ = называется определителем

a2 b2

второго порядка. a1, b1, a2, b2 – элементы определителя, a1 b2 – главная диагональ, a2 b1 – побочная диагональ.

Правило: Чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведения элементов побочной диагонали.

С1 b1 a1 C1

Δx = Δy =

C2 b2 a2 C2

П ример:

2 -1

Δ = = 9

2х – y = 5 3 2

5 x + 2y = 8

5 -1 2 5

Δx = = 18 Δy = = -9

8 2 5 8

X=18/ 9 = 2, Y= -9/9 = 1. Ответ: {2,1}.

a11 a12 a13

Число Δ = a21 a22 a23 называется определителем третьего

a31 a32 a33 порядка.

При его расчёте со знаком «+» берутся произведения элементов главной диагонали и произведения элементов, лежащих на параллелях этой диагонали, с добавлением третьего элемента из противоположного угла определителя, со знаком «-» берутся произведения элементов побочной диагонали и произведения элементов, лежащих на параллелях этой диагонали, с добавлением третьего элемента из противоположного угла определителя, со знаком «-». a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 – a13a22a31 – a12a21a33 – a23a32a11.

Минором элемента определителя называется определитель полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, где находится данный элемент.

a21 a23 Миноры используются для расчета

M1,2 = переменных в системах 3 уравнений

a31 a33

Матрицей m x n называют таблицу, состоящую из m-строк и n-столбцов. При m=n матрица квадратная, при mn матрица прямоугольная. Если в матрице все элементы равны 0 кроме диагональных – матрица диагональная.

Действия над матрицами:

1. Сложение С=А+В, если cij = aij+bij.

2. Вычитание(разность) С=А-В, если cij = aij-bij.

3. Произведение матрицы М на число  - это матрица, каждый элемент которой умножен на .

4. Умножение матриц.

a11 a12 b11 b12

С=А*В =  =

a21 a22 b21 b22

a11 b11 + a12 b21; a11 b12 + a12 b22 =

= a21 b11 + a22 b21; a21 b12 + a22 b22