- •Вопрос 1. Числовая последовательность. Примеры.
- •Вопрос 2. Ограниченная последовательность.
- •Вопрос 3. Предел числовой последовательности.
- •Вопрос 4. Единственность предела сходящейся последовательности.
- •Вопрос 5. Ограниченность сходящейся последовательности.
- •Вопрос 10. Монотонные последовательности. Число «е».
- •Вопрос 11. Предел функции в точке
- •Вопрос 12. Свойства предела, связанного с арифметическими действиями( для функций)
- •Вопрос 13.Односторонние пределы
- •Вопрос 14. Пределы бесконечности. Бесконечные пределы.
- •Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы
- •Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.
- •Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.
- •Вопрос 18. Непрерывность суммы произведения и частного в непрерывной функции.
- •Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.
- •Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.
- •Классификация точек разрыва.
- •Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.
- •Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.
- •Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.
- •Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.
- •Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной
- •Вопрос 27. Уравнение касательной
- •Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.
- •Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.
- •Вопрос 30. Теорема Ролля
- •Вопрос 31. Теорема Лагранжа.
- •Вопрос 32. Правило Лопиталя.
- •Вопрос 33. Производные высших порядков
- •Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.
- •Вопрос 39. Асимптоты графика функции.
- •Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.
- •Вопрос 41. Функции двух переменных. Область определения.
- •Вопрос 42. Частные производные
- •Правило нахождения частных производных.
- •Вопрос 43.Вторые частные производные.
- •Вопрос 44. Локальный экстремум функции 2х переменных.
- •Вопрос 51. Определение определенного интеграла
- •Вопрос 52.Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 53.Интегрируемость непрерывной функции
- •Вопрос 54. Интеграл с переменным верхним пределом
- •Вопрос 55. Существование первообразной для непрерывной функции.
- •Вопрос 56.Формула Ньютона-Лейбница
- •Вопрос 57. Замена переменной в определенном интеграле.
- •Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)
- •1) Вычисление длины дуги кривой
- •Вопрос 65. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
- •Вопрос 66. Абсолютная и относительная сходимость рядов.
Вопрос 38. Исследование функции на выпуклость.
Пусть y=f(x) дифференцируема на отрезке (a;b), т.е. в каждой точке х ∈ (a;b) можно провести касательную
Определение 1. Функция называется выпуклой вниз, если для всех х из интервала [a;b] график
ф ункции лежит выше касательной.
О пределение 2. Функция называется выпуклой вверх, если на данном интервале ее график лежит выше касательной
Достаточное условие выпуклости:
Теорема1.
Пусть функция y=f(x) на участке (a;b) имеет вторую производную, тогда f’’(x)>0, то функция выпуклая вниз, если f’’(x)<0, то функция выпуклая вверх.
Доказательство:
Пусть f’’(x)>0; x∈ (a;b) обозначим с∈ (a;b)
Запишем уравнение касательной, проходящей через точку С; у- ордината касательной.
У-f(c)=f’(c)(x-c)
Для функции y=f(x) запишем формулу Тейлора в окрестности точки С.
Найдем разность между точками прямой:
=> y>Y
Определение 3. Точкой С называется точка перегиба функции, в окрестности которой функция меняет выпуклость.
Т еорема2 Пусть функция дважды дифференцируема, тогда для того, чтобы точка С была точкой перегиба, необходимо, чтобы вторая производная в этой точке =0.
Теорема3. Пусть вторая производная в точке С=0 и в окрестности этой точки меняет знак тогда в этой точке будет перегиб.
Схема исследования функции на выпуклость и наличие точек перегиба:
1) Находим вторую производную функции f’’(x)
2) Находим точки, в которых вторая производная f’’(x)=0 или не сущетвует.
3) Исследуем знак второй производной слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
4) Находим значение функции в точках перегиба.
Вопрос 39. Асимптоты графика функции.
Асимптотой графика функции y=f(x) называется прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки (x,f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Существует вертикальная, горизонтальная и наклонная асимптоты.
1)Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x0 и хотя бы один из пределов функции при х→х0 -0(слева) или при х→х0 +0(справа) равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции.
Пусть функция определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика функции.
Пусть функция определена при достаточно больших х и существуют ее конечные пределы . Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции.
Уравнения возможной асимптоты:
1) Если к=0, то функция имеет горизонтальную асимптоту.
2) Пусть при х→а f(x)→∞, тогда прямая х=а называется вертикальной асимптотой.
Вопрос 40. Исследование функции и построение графика.
1)Находим область определения функции
2) Исследуем функцию на четность-нечетность.
- четная, график симметричен относительно ОУ
- нечетная, график симметричен относительно начала координат.
3) Ищем точки пересечения с осями координат
4) Интервалы монотонности функции
5) Находим асимптоты графиков
6) Находим интервалы выпуклости функции и точки перегиба
7) Построение графика функции