Вопрос 18. Непрерывность суммы произведения и частного в непрерывной функции.

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то их сумма, произведение и частное(если g(x₀)≠0) являются функциями, непрерывными в точке х₀.

Доказательство:

Покажем непрерывность частного. Пусть f(x),g(x) непрерывны в точке х₀ , т.е. , , причем g(x₀)≠0.

По теореме об арифметических действиях с пределами существует , и этот предел равен

, что означает непрерывность функции в точке х₀.

Вопрос 19. Непрерывность элементарной функции в области определения.

Теорема: Все элементарные функции непрерывны в области определения.

Непрерывность рациональных функций:

1. Постоянная функция y(х) = C = const, очевидно, непрерывна в любой точке (предел постоянной функции равен этой постоянной в любой точке).

2.Функция y(х)= х непрерывна в любой точке х ( для 0 возьмём  = , тогда если  х- х0, то  f(х)- f(х0) =  х- х0=).

3.Функция y(х)= х² непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций.

4.По индукции функция y(х)= хn = хn-1 х непрерывна в любой точке х как произведение двух непрерывных функций. По той же причине непрерывна функция y(х)= аnхn, где аn=C=const. 5.Рациональная функция непрерывна в любой точке х как сумма непрерывных функций.

Непрерывность дробно-рациональных функций:

1) непрерывна в любой точке х, в которой знаменатель отличен от 0, как частное непрерывных функций.

Непрерывность показательной функции y=a^x, a>0,a≠1.

Требуется доказать, что . Рассмотрим разность . Эта разность - БМ функция при х х0, следовательно, ах при при х х0

Непрерывность логарифмической функции . По формуле эквивалентных БМ 

Непрерывность тригонометрических функций:

а.y=sinx.

sinx-sinx₀

при х  х0 (мы воспользовались неравенством |sin х || х|).

б. непрерывна как суперпозиция непрерывных функций.

в. Функции y=tgx и y=ctgx непрерывны в точках, в которых они определены, как частное непрерывных функций.

Вопрос 20. Непрерывность функции справа и слева в точке разрыва функции и их классификации.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 слева, если

Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа, если

Если одно из этих условий не выполнено, то функция f(x) имеет в точке х0 разрыв, соответственно, слева или справа.

Классификация точек разрыва.

Разрывы первого рода:

Пусть существует левый предел а и правый предел b и a≠b, тогда у функции разрыв первого рода типа конечного скачка.

a≠b

Если один из односторонних пределов равен ∞, то говорят, у функции разрыв второго рода типа бесконечного скачка.

Вопрос 21. Теорема о сохранении знаков непрерывной функции.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x)≠0, тогда сущее. окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак.

Доказательство:

Пусть для определенности f(x₀)>0, т.к. , то .

f(x₀) можно сделать положительным за счет выбора числа ε.

f(x)>0

x ∈(x₀- ε);x₀+ ε)