Вопрос 22. Теорема о нуле непрерывной функции и промежуточном значении.

1) Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a;b], и на концах его принимает значение разных знаков, тогда обязательно найдется такая точка С внутри [a;b], в которой функция обращается в 0.

[a;b] x∈[a;b] f(c)=0

Д ля разрывной функции это не будет справедливо.

Д оказательство:

Разделим [a;b] пополам:

1)Пусть f(c)=0

2) f(c)≠0

На концах из каждого-то из 2х полученных отрезках функция принимает на его концах разные знаки.

[a₁;b₁] вновь разделим пополам.

Опять выбираем тот отрезок, на концах которого функция принимает значение разных знаков [a₂;b₂] и опять разделим пополам.

Длина отрезка

Левые концы отрезка a₁, а₂, …а_n – образуют возрастающую последовательность, но ограничены всегда числом b.

По теореме о монотонной последовательности существует.

Правые концы отрезков образуют монотонно убывающую последовательность, но всегда ограничены числом а.

По теореме о монотонной последовательности существует.

Т.к. , то

По теореме о сохранении знака непрерывной функции с одной стороны f(a_n)<0 => f(c)<0; f(b_n)>0 => f(c)>0 => f(c)=0.

2)Если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

2) Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b], тогда она ограничена на этом отрезке,

Вопрос 23. Теорема об ограниченной функции на отрезке.

Доказательство. Функция f (х) ограничена на промежутке [а, b], если существуют такие конечные числа m и M, что m ≤ f (х) ≤ М при a ≤ x ≤ b. Допустим, что функция f (х) при изменении х в промежутке [а, b] оказывается неограниченной. В таком случае для каждого натурального числа n найдётся в промежутке [а, b] такое значение х = х_n, что f ( x_n) ≥ n. Однако по лемме Больцано – Вейерштрасса из этой ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся частичную подпоследовательность:

Причем, очевидно, х₀ [a, b]. Вследствие непрерывности функции в точке х₀ должно быть выполнено

Однако, в силу f (x_n) ≥ n имеем

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Вопрос 24. Теорема о достижении наибольшего и наименьшего значений функции.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М, так что m≤f(x)≤M для всех х на [a;b]

Вопрос 25. Понятие производной функции в точке + таблица производных.

П роизводной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

tgφ →tgα

tgα- есть производная f’(x₀)

Таблица производных:

Вопрос 26. Физический и геометрический смысл производной

Из задачи о касательной следует геометрический смысл производной:

производная f’(x₀) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х₀, т.е. k=f’(x₀). Следовательно, уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x₀ примет вид y-f(x₀)=f’(x₀)(x-x₀).

Из задачи о скорости движения следует физический смысл производной:

производная пути s’(t₀) есть скорость точки в момент t₀: υ(t₀)=s’(t₀).

Если у(х) – расстояние, х- время, ∆у(∆х) –скорость, то производная есть мгновенная скорость к данному времени.