Вопрос 58.Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции u=u(x) и υ=υ(х) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда:

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла:

, где

u- должно упроститься

υ- легко интегрироваться

Поскольку (uυ)’=u’υ+uυ’, то функция uυ является первообразной для функции u’υ+uυ’.

Тогда, по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

, что равносильно , т.к. по определению дифференциала u’(x)dx=du и υ’(x)dx=dυ

Вопрос 59.Геометрические приложения определенного интеграла(вычисление площади, вычисление длины дуги кривой)

1) Вычисление длины дуги кривой

Как можно задать кривую на плоскости?

а) явное задание у=у(х), а≤x≤b

y=4x+5

y=x²-5x+6

б ) параметрическое задание

в) полярные координаты

r =r(φ)

α≤φ≤β

r≥0

0≤φ≤2π

Установим связь декартовых и полярных координат

Построим: (x²+y²)=4(x²-y²)

1) x=rcosφ

y=rsinφ

r⁴=4r²(cos²φ-sin²φ)

^,,

c os2φ≥0

2 )x²+y²=4y

r²=4rsinφ

cosφ=π

В пространстве кривую можно задать только параметрически.

Найдем производную параметрически заданной функции.

1.y=y(x)-исключим t

2.y(t)=y(x(t))

Продифференцируем 2-е выражение, тогда

- так вычисляется производная параметрически заданной функции.

Опр.1 Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке можно провести касательную, направление которой непрерывно изменяется.

Опр.2. Кривая называется стремящейся, если она имеет конечную длину.

Что понимается под длиной прямой?

1) Возьмем прямую, впишем в нее ломаную, число звеньев которой будет увеличиваться.

L_i- дина каждого звена

Конечный предел суммы при х→0 называется длиной кривой.

∆х_i→0 , если кривая гладкая.

Тогда мы видим, что сумма принимает вид

Сумма есть интегрированная сумма для функции

Следовательно, длина кривой вычисляется:

2) Выведем длину кривой в случае параметрического задания

3) Прямая задана в полярных координатах.

r=r(t)

Площадь криволинейной трапеции

Если фигура ограничена сверху кривой y=f(x), снизу кривой y=g(x), слева и справа-отрезками прямых х=а и х=b, то ее площадь равна:

Площадь сектора

Вопрос 60.Числовые ряды

Числовым рядом называется сумма , a_n- общий член ряда.

Вопрос 61. Сумма числового ряда

Сумма n первых членов ряда S_n= a₁+a₂+…+a_n называется n-й частичной суммой ряда.

Суммой ряда называется предел частичных сумм , если S≠∞, ряд называется сходящимся.

Исследование числового ряда сводится к сводимости последовательностей частных сумм:

Вопрос 62.Сходимость числового ряда

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.

Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.

Вопрос 63.Необходимое условие сходимости

- Необходимое условие сходимости:

Если ряд сходится, то предел его общего члена a_n при n→∞ равен нулю, т.е.

(Для того, чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы его общий член стремился к 0. )

Доказательство:

т.к. ряд сходится,то и

- расходится.

Гармонический ряд,у которого суммы нет.

Вопрос 64. Признаки сходимости положительных рядов(признаки сравнения Коши,Даламбера)

Знакоположительные ряды.

Послеовательность частичных сумм монотонно возрастает, поэтому по теорем о сходимости монотонной последовательности для существования предела, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм была огранична.

Тогда всегда существует и относителен от ∞.

Достаточные признаки:

Пусть существует ряд a_n и b_n и выполняется неравенство a_n≤b_n => если ряд b_n сходится, то a_n тоже сходится.

Если ряд a_n расходится, то b_n тоже.

Доказательство:

S_n^a –ряд сходимости суммы a_n.

S_n^a =a₁+a₂+…+a_n≤b₁+b₂+…+b_n.

Рассмотрим случай 1.

сходится => его S_n^b≤M. Т.е. частичные суммы ограничены => S_n^a также ≤M

По критерию сходимости дя знака положительных рядов существует конечный предел.

Случай 2.

- расходится, S_n^a =∞

a₁+a₂+…+a_n→+∞, отсюда b₁+b₂+…+b_n.→+∞

α>1- ряд сходится

α≤1- ряд расходится

Признак Коши.

Пусть существует предел , тогда:

1)q<1- ряд сходится

2)q>1-ряд расходится

3)q=1- ничего сказать нельзя(признак не работает)

Доказательство:

Для любого положения числа ε(∀ε>0) мы имеем

1) q<1

т.к. ε – любое число, его можно взять таким , что q+ε=q₁<1

a_n<a₁ⁿ

- это геометрическая прогрессия со знаком <1 => сходится, поэтому по признаку сравнения исходный ряд сходится.

2) q>1

За счет выбора ε можно q-ε>1

q-ε=q₂

q_n>q₂ⁿ – расходится

Признак Даламбера.

Пусть существует , тогда

1)q<1 –ряд сходится

2)q>1-ряд расходится

3) q=1- нужны дополнительные сведения.

Доказательство:

(∀ε>0)

1) q<1, также за счет выбора ε можно q+ε=q<1

a_n+1<a_nq₁<a_n-1q²...<a₁qⁿ

но

- сходится => исходный ряд тоже сходится.

2) q>1 аналогично, как признак Коши.