Вопрос 27. Уравнение касательной

Предельное положение секущей ab, когда b по кривой стремится к a называется касательной.

Таким образом касательная к кривой в точке х₀ есть tg угла наклона этой касательной. Поэтому уравнение касательной к кривой имеет вид: .

Вопрос 28. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Функция называется дифференцируемой в точке х₀ , если ее приращение может быть представлено в виде: .

Главная относительная ∆x часть приращенной функции, отличающаяся от этого приращения на бесконечно малую величину называется дифференциалом функции.

∆x=dx

С геометрической точки зрения дифференциал есть приращение ординаты касательной.

Теорема:

Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство:

-необходимость

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда

Разделим данное выражение на ∆x и перейдем к пределу к ∆x→0.

, т.е. выражение

-Достаточность

Пусть существует f’(x₀)

Из свойств предела следует

Понятие дифференцируемости и производной в точке х₀ – тождественно.

Связь непрерывности и дифференцируемости:

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда она не прерывна в этой точке.

Из дифференцируемости всегда следует непрерывность. Из непрерывности дифференциирумость следует не всегда.

Вопрос 29. Применение производной для приближенных вычислений.

Пусть u(x) и υ(x) дифференцируемы, тогда справедливы следующие правила:

При малых ∆х приращение функции можно заменять ее дифференциалом.

Из формулы ∆y=dy следует формула приближенного вычисления:

Вопрос 30. Теорема Ролля

Пусть функция f(x) дифференцируема внутри интервала (a;b)- непрерывна на сегменте и на f(a)=f(b) (на концах отрезка принимает равные значения)найдется такая точка, в которой производная равна 0.

f’(c)=0

c ∈ (a;b)

Геометрический смысл теоремы: Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс; в этой точке производная и будет равняться 0.

Проиллюстрируем эту теорему геометрически:

Н айдет такая точка С, в которой касательная будет горизонтальна в этой точке производная равна 0.

Д оказательство: Пусть функция f(x) – постоянна х ∈ (a;b), тогда значение производной во всех точках равно 0.

f’(x)=0

f(x)- не является константой.

f(x)≠f(a)

Пусть f(x)>f(a), значение на концах функции равны

Пусть f(x)>f(a), по условию f(a)=f(b)=>f(x)>f(b)

f’(c)=0

Вопрос 31. Теорема Лагранжа.

Пусть f(x) непрерывна для всех х∈ (a;b) и дифференцируема на х∈ (a;b), тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка С, в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, т.е. .

Обратимся к геометрической интерпретации этой теоремы:

Нашлась такая точка С, в которой прямая параллельна хорде АВ.

1) Введем

2) Покажем, что она удовлетворяет условию теоремы Ролля – он непрерывна для x ∈ (a;b) и дифференцируема на х ∈ (a;b).

-х=а

-х=b

- найдется такая точка С: , тогда

Из теоремы Лагранжа следует важная теорема о приращении функции

, ∈ (х;х₀).

Из этой формулы возникает, что если производная на участке [x;x₀] больше 0, то функция на всем этом участке монотонно возрастает и если производная меньше 0, то убывает.

Что если производная во всех точках интервала =0, то функция будет константа.

Теорема Лагранжа допускает:

Теорема Коши.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), тогда справедлива следующая формула:

, где - какая-то точка из интервала (a;b)