Вопрос 32. Правило Лопиталя.
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует в указанном смысле.
Это правило помогает раскрывать
неопределенности типа
;
,
все остальные типы неопределенности
должны быть приведены путем преобразования
к этим неопределенностям.
Покажем применение правила для неопределенности .
Потребуем в окрестности точки «а», чтобы были непрерывны и существовали бы f(a) и g(a), а в точке «а» существовали бы производные, которые также были бы непрерывны
Применим теорему Коши, ∈ (х;х0) из-за существования производных и их непрерывности.
Найдем предел:
Вопрос 33. Производные высших порядков
Производная 2го порядка есть первая производная от первой производной.
у2=(y’)’
По индукции производная n-ного порядка есть первая производная от производной y(n-1).
y(n)=y(n-1)
Дифференциал n-ного порядка вычисляется по формуле:
Производные n- ного порядка для некоторых элементарных функций:
y=ex |
y=sinx |
y=cosx |
|
y=lnx |
|
y’=ex |
y’=cosx |
y’=-sinx |
|
|
|
y’’=ex |
y’’=-sinx |
y’’=-cosx |
|
|
|
y’’’=ex |
y’’’=-cosx |
y’’’=sinx |
|
|
|
|
yIV=sinx |
yIV=cosx |
|
|
|
Вопрос 34. Формула Тейлора для
ех,sinx,cosx,
.
Пусть y=f(x) имеет производную в точке х0 до n-ного порядка включительно.
,
k=0,1,2…n
0!=1
,
где Ck подсчит. по формуле
,
а Rn-остаточн. член.
Если х0=0,то формула приобретает вид:
,
т.е. мы представили функцию в виде
многочлена. Формула Маклорена.
Выведем формулы Маклорена для некоторых элементарных функций:
Вопрос 35. Исследование функции на монотонность.
Функция возрастает в точке х=х0, если существует такая окрестность этой точки, в которой f(x0)>f(x) и убывает, если f(x0)<f(x).
Теорема:
Пусть функция дифференцируема в точке х0 , тогда если f’(x) >0 функция возрастает, если f’(x)<0, то убывает.
Доказательство:
Пусть f’(x0)-существует; f’(x0)>0
Пусть х<x0 => x-x0 <0
f(x0)>f(x)
Вопрос 36. Экстремум функции.
Экстремум функции
- в точке х0 у функции будет max, если в окрестности точки х0 f(x0)>f(x)
- и min , если для всех х из окрестности f(x0)<f(x).
Вопрос 37. Необходимое и достаточное условие экстремума.
-Необходимое условие экстремума:
Пусть в точке х0 у функции будет экстремум, тогда необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0 или не существовала.
Доказательство:
Для определенности положим, что в точке х, равной х0 , будет максимум, т.е существует такая окрестность этой точки, в которой f(x0)>f(x).
Тогда функция в точке х=х0 не может не возрастать, не убывать.
y=x3
y’=3x2
y’(0)=0
-Достаточное условие экстремума.
Пусть в точке х0 производная =0 и в окрестности этой точки меняет знак, тогда в этой точке будет экстремум, а если при переходе через точку х0 производная меняет свой знак с + на - , то точка х0 есть точка максимума, а если с – на +, то точка минимума.
