![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Понятие функции. Ограниченные функции.
- •2. Функции четные, нечетные, монотонные.
- •3. Числовые последовательности. Определение и примеры.
- •4. Предел числовой последовательности.
- •5. Теоремы о пределах числовой последовательности
- •Примеры.
- •6. Раскрытие неопределенностей (0/0), ∞ -∞
- •7. Предел последовательности . Понятие о натуральном логарифме.
- •8. Понятие предела функции.
- •9. Вычисление пределов функции.
- •10.Предел и связанные с ним пределы.
- •11.Предел и связанные с ним пределы.
- •12.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •1 3.Бесконечно малые функции одного порядка, эквивалентные бесконечно малые.
- •14.Односторонние пределы.
- •15.Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •16.Классификация точек разрыва.
- •17.Свойства непрерывных функций.
- •18.Непрерывность основных элементарных функций.
- •19.Производная функции в точке.
- •20.Правила дифференцирования.
- •21.Вычисление производной степенной функции.
- •22.Вычисление производной показательной функции.
- •23.Вычисление производных тригонометрических функций.
- •24.Вычисление производной логарифмической функции.
- •25.Производная сложной функции.
- •26.Производнаяобратной функции.
- •28.Производная функции, заданной неявно и параметрически.
- •30.Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница. Производные высших порядков
- •31.Дифференциалы высших порядков.
- •32.Геометрический смысл производной, уравнение касательной и нормали
- •33.Теорема Ролля.
- •34.Теорема Лагранжа.
- •35.Теорема Коши.
- •36.Экстремум функции одной переменной(?). Необходимое условие экстремума .
- •37.Достаточные условия экстремума.
- •38.Выпуклость, вогнутость графика функции, точки перегиба
- •39.Достаточные условия перегиба.
- •40.Асимптоты графика функции.
- •41.Правило Лопиталя.
- •42.Формула Тейлора для функции.
- •43.Комплексные числа.
- •44.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
- •45.Векторы, линейные операции над векторами.(?)
- •46.Координаты вектора.
- •47.Определители 2-го, 3-го порядков
- •48.Свойства определителя.
- •49.Теорема о разложении определителя.
- •50.Линейная зависимость векторов.
16.Классификация точек разрыва.
Классификация точек разрыва.
1. х0 – точка разрыва первого рода, если односторонние пределы существуют, но они не равны между собой.
1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.
Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x0)
XXo-0 XXo+0
1.2Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.
1.3Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
2. х0-точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.
17.Свойства непрерывных функций.
|
|
|
Теорема
1.
Сумма непрерывных функций есть функция
непрерывная.
Доказательство.
Пусть функции
Согласно свойству пределов функций существование пределов функций и гарантирует существование предела их суммы. При этом
что и требовалось доказать. Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция. Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная. Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль. Доказательство теорем 2 и 3 по своей сути не отличается от доказательства теоремы 1 и предоставляется читателю. Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения. Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа a из области определения элементарной функции выполняется условие
Продемонстрируем справедливость теоремы на некоторых конкретных примерах.
Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при x → a и, следовательно,
Теорема
5.
Пусть функция
непрерывна на промежутке [a,b]
и принимает на его концах значения
разных знаков. Тогда на этом промежутке
существует такая точка c,
в которой |